Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (isso significa que , e são todos positivos) e que é limitado pelo paraboloide . Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. No primeiro octante, , e . O paraboloide nos dá a superfície superior do sólido. Para encontrar o volume, precisamos integrar essa função sobre a área no plano onde , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região . Essa é uma elipse no plano . Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variáveis que transforme essa elipse em um círculo. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse se transforma em:
Então, , e os limites para são de 0 a 1, e para de 0 a no primeiro octante.

Passo 4

Precisamos também calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, expressamos a função em termos das novas variáveis:

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
c) A região dentro do círculo e fora do círculo .
Calcule a integral tripla.
d) , onde é a região limitada pelas superfícies e .
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.