Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (isso significa que , e são todos positivos) e que é limitado pelo paraboloide . Vamos usar cálculo integral para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. No primeiro octante, , e . O paraboloide nos dá a superfície superior do sólido. Para encontrar o volume, precisamos integrar essa função sobre a área no plano onde , ou seja:
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região . Essa é uma elipse no plano . Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variáveis que transforme essa elipse em um círculo. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse se transforma em:
Então, , e os limites para são de 0 a 1, e para de 0 a no primeiro octante.
Passo 4
Precisamos também calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, expressamos a função em termos das novas variáveis:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide é unidades cúbicas.