Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
c) A região dentro do círculo e fora do círculo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região que está dentro do círculo e fora do círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Para isso, precisamos saber como converter as equações dos círculos para coordenadas polares e identificar os pontos de interseção.

Passo 2

Vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e .
Para o primeiro círculo, , substituindo:
Expandindo e simplificando:
Como , fica:
Factorizando:
Então, ou . Ignoramos , pois representa apenas o ponto de origem.
Para o segundo círculo, , em coordenadas polares:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde os dois círculos se intersectam. Igualando as duas expressões para :
Isso acontece quando e .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para . A região de interesse está entre e . Além dessas angulações, para entre e , o círculo está fora do círculo , então apenas a primeira parte é relevante para a área que queremos calcular.

Passo 5

A área em coordenadas polares é dada pela integral:
No nosso caso, e , e os limites de são de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 7

Vamos calcular a integral. Primeiro, precisamos lembrar que .
Substituindo:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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Se tem equações paramétricas , ache as equações paramétricas da reta que passa por e é paralela a .
Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .
Calcule a integral tripla.
d) , onde é a região limitada pelas superfícies e .