Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
c) A região dentro do círculo e fora do círculo .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região que está dentro do círculo e fora do círculo . Vamos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Para isso, precisamos saber como converter as equações dos círculos para coordenadas polares e identificar os pontos de interseção.
Passo 2
Vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e .
Para o primeiro círculo, , substituindo:
Expandindo e simplificando:
Como , fica:
Factorizando:
Então, ou . Ignoramos , pois representa apenas o ponto de origem.
Para o segundo círculo, , em coordenadas polares:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde os dois círculos se intersectam. Igualando as duas expressões para :
Isso acontece quando e .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para . A região de interesse está entre e . Além dessas angulações, para entre e , o círculo está fora do círculo , então apenas a primeira parte é relevante para a área que queremos calcular.
Passo 5
A área em coordenadas polares é dada pela integral:
No nosso caso, e , e os limites de são de a .
Passo 6
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 7
Vamos calcular a integral. Primeiro, precisamos lembrar que .