Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial no intervalo . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, supomos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , que é , vamos usar o método de variação de parâmetros ou de coeficientes indeterminados para encontrar .

Passo 6

Usando a variação de parâmetros, a solução particular pode ser expressa em termos de integrais envolvendo as soluções da equação homogênea. Então, a solução geral será a soma da solução homogênea com a solução particular .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla.
d) , onde é a região limitada pelas superfícies e .
Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .
Se
e , encontre .
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) .