Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
no intervalo
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de quarta ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, supomos uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que é
, vamos usar o método de variação de parâmetros ou de coeficientes indeterminados para encontrar
.
Passo 6
Usando a variação de parâmetros, a solução particular pode ser expressa em termos de integrais envolvendo as soluções da equação homogênea. Então, a solução geral será a soma da solução homogênea
com a solução particular
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.