Calcule a integral tripla.
d) , onde é a região limitada pelas superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral , onde é a região limitada pelas superfícies e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a configuração de integrais em coordenadas cilíndricas, já que as superfícies têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam a região . A superfície é um paraboloide que se abre para cima, enquanto é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar os limites da região , precisamos descobrir onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 3

Igualando as duas expressões para , temos:
Vamos reorganizar os termos:
Isso nos mostra que as superfícies se intersectam quando , ou seja, em um círculo de raio 3 no plano .

Passo 4

Como a região de integração é circular, é mais fácil trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (raio do círculo onde ocorre a interseção).
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • Para cada e , varia da superfície inferior até a superior .

Passo 6

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .
Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
c) A região dentro do círculo e fora do círculo .
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
Se
e , encontre .