Calcule a integral tripla.
d) integral triplaH d V, onde H é a região limitada pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=27-2 x^2-2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral integral triplaH dV, onde H é a região limitada pelas superfícies z = x^2 + y^2 e z = 27 - 2x^2 - 2y^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a configuração de integrais em coordenadas cilíndricas, já que as superfícies têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam a região H. A superfície z = x^2 + y^2 é um paraboloide que se abre para cima, enquanto z = 27 - 2x^2 - 2y^2 é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar os limites da região H, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se intersectam.

Passo 3

Igualando as duas expressões para z, temos:
x^2 + y^2 = 27 - 2x^2 - 2y^2
Vamos reorganizar os termos:
x^2 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 = 27 3x^2 + 3y^2 = 27 x^2 + y^2 = 9
Isso nos mostra que as superfícies se intersectam quando x^2 + y^2 = 9, ou seja, em um círculo de raio 3 no plano xy.

Passo 4

Como a região de integração é circular, é mais fácil trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta y = rsintheta z = z
E o elemento de volume dV se transforma em r,dr,dtheta,dz.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • r varia de 0 a 3 (raio do círculo onde ocorre a interseção).
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • Para cada r e theta, z varia da superfície inferior z = r^2 até a superior z = 27 - 2r^2.

Passo 6

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaH dV = integral0^2pi integral0^3 integralr^2^27 - 2r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2^27 - 2r^2 dz = (27 - 2r^2) - r^2 = 27 - 3r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 r(27 - 3r^2),dr,dtheta

Passo 8

Agora, integramos em relação a r:
integral0^3 r(27 - 3r^2),dr = integral0^3 27r - 3r^3,dr = [272r^2 - 34r^4]0^3 = (272(9) - 34(81)) = 2432 - 2434 = 2434

Passo 9

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 2434,dtheta = 2434 cdot 2pi = 2432pi

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac2432pi.

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