Calcule a integral tripla.
d)
, onde
é a região limitada pelas superfícies
e
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A questão pede para calcular a integral
, onde
é a região limitada pelas superfícies
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a configuração de integrais em coordenadas cilíndricas, já que as superfícies têm simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que limitam a região
. A superfície
é um paraboloide que se abre para cima, enquanto
é um paraboloide que se abre para baixo. Para encontrar os limites da região
, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se intersectam.
Passo 3
Igualando as duas expressões para
, temos:
Vamos reorganizar os termos:
Isso nos mostra que as superfícies se intersectam quando
, ou seja, em um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 4
Como a região de integração é circular, é mais fácil trocar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
se transforma em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (raio do círculo onde ocorre a interseção). -
varia de a para cobrir todo o círculo. - Para cada
e , varia da superfície inferior até a superior .
Passo 6
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido:
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide .
c) no primeiro octante, limitada pelo paraboloide
Utilize coordenadas polares para determinar a área da região.
c) A região dentro do círculo e fora do círculo
.
c) A região dentro do círculo
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
Se
e
, encontre
.