Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. A integral que temos é:
Vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, vamos desenhar a região de integração e ajustar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a e, para cada , varia de a . Isso forma uma área triangular no plano .
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar a região de outra maneira: agora, queremos que varie primeiro e, para cada , varie dentro dos novos limites. Observando a região triangular, percebemos que varia de 0 a , e, para cada , varia de 0 a .
Passo 4
Com essa nova ordem, reescrevemos a integral:
Note que agora a função dentro da integral, , não depende mais de , o que simplifica a integração.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja , então ou . Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :