Calcule a integral trocando a ordem de integração. integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla trocando a ordem de integração. A integral que temos é:
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) dx , dy
Vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas. Para resolver isso, vamos desenhar a região de integração e ajustar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a e, para cada , varia de a . Isso forma uma área triangular no plano .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar a região de outra maneira: agora, queremos que varie primeiro e, para cada , varie dentro dos novos limites. Observando a região triangular, percebemos que varia de 0 a , e, para cada , varia de 0 a .

Passo 4

Com essa nova ordem, reescrevemos a integral:
integral0^raizpi integral0^x cos (x^2) dy , dx
Note que agora a função dentro da integral, , não depende mais de , o que simplifica a integração.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x cos (x^2) dy = cos (x^2) integral0^x dy = cos (x^2) cdot x :
integral0^raizpi x cos (x^2) dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Seja integral x cos (x^2) dx = 12 integral cos(u) du = 12 sin(u) + C = 12 sin(x^2) + C , então ou . Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 12 sin(x^2) |0^raizpi = 12 sin(pi) - 12 sin(0) = 12 cdot 0 - 12 cdot 0 = 0 :

Resposta

A integral vale 0.

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