Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, acima do plano x y e abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano (ou seja, onde ) e abaixo do cone .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, usamos três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano ) e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
A equação da esfera em coordenadas esféricas fica:
Isso significa que a esfera tem raio 2.
Agora, a equação do cone pode ser transformada. Sabemos que:
Portanto, o cone fica:
Então, o cone corresponde ao ângulo .

Passo 3

O plano é onde , ou seja, .
Agora, sabemos que o sólido está limitado por:
  • A esfera:
  • Acima do plano :
  • Abaixo do cone:
Além disso, o ângulo varia de 0 a , já que não há restrição na volta completa ao redor do eixo .
Resumindo os limites de integração:

Passo 4

Para calcular o volume em coordenadas esféricas, usamos o elemento de volume:
Então, o volume será a integral tripla desse elemento dentro dos limites que definimos:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a :
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral agora é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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