Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
(ou seja, onde
) e abaixo do cone
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas e cones. Nas coordenadas esféricas, usamos três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano
) e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo
).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
A equação da esfera
em coordenadas esféricas fica:
Isso significa que a esfera tem raio 2.
Agora, a equação do cone
pode ser transformada. Sabemos que:
Portanto, o cone fica:
Então, o cone corresponde ao ângulo
.
Passo 3
O plano
é onde
, ou seja,
.
Agora, sabemos que o sólido está limitado por:
- A esfera:
- Acima do plano
: - Abaixo do cone:
Além disso, o ângulo
varia de 0 a
, já que não há restrição na volta completa ao redor do eixo
.
Resumindo os limites de integração:
Passo 4
Para calcular o volume em coordenadas esféricas, usamos o elemento de volume:
Então, o volume
será a integral tripla desse elemento dentro dos limites que definimos:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral agora é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.