Determine o volume do sólido que fica acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + (z - 1/2)^2 = 1/4. (Dica: Use coordenadas esféricas)
(a) pi/6
(b) pi / 5
© 3 pi / 4
(d) pi/8
(e) 2 pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que fica acima do cone e abaixo da esfera . A dica é usar coordenadas esféricas, então vamos precisar entender como elas funcionam para calcular volumes de figuras complicadas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo do ponto em relação ao eixo z). As fórmulas para converter coordenadas cartesianas para esféricas são:
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Vamos analisar a esfera primeiro. A equação da esfera é . Isso significa que a esfera tem raio e está centrada no ponto .
Convertendo para coordenadas esféricas:
Resolvendo essa equação para , encontramos que a esfera ocorre quando .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o cone . Em coordenadas esféricas, isso se transforma em:
Então, o cone corresponde a .

Passo 5

Para encontrar o volume entre o cone e a esfera, precisamos integrar em coordenadas esféricas com os limites apropriados.
Os limites são:
  • varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (do eixo z até o cone).
  • varia de a (do centro até a superfície da esfera).
Então, a integral para o volume é:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a . Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe , então .
Os limites de integração para quando é e quando , .
A integral em fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A resposta correta é a letra (d) .

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