Determine o volume do sólido que fica acima do cone
e abaixo da esfera
. (Dica: Use coordenadas esféricas)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que fica acima do cone
e abaixo da esfera
. A dica é usar coordenadas esféricas, então vamos precisar entender como elas funcionam para calcular volumes de figuras complicadas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo do ponto em relação ao eixo z). As fórmulas para converter coordenadas cartesianas para esféricas são:
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é
.
Passo 3
Vamos analisar a esfera primeiro. A equação da esfera é
. Isso significa que a esfera tem raio
e está centrada no ponto
.
Convertendo para coordenadas esféricas:
Resolvendo essa equação para
, encontramos que a esfera ocorre quando
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o cone
. Em coordenadas esféricas, isso se transforma em:
Então, o cone corresponde a
.
Passo 5
Para encontrar o volume entre o cone e a esfera, precisamos integrar
em coordenadas esféricas com os limites apropriados.
Os limites são:
-
varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z). -
varia de a (do eixo z até o cone). -
varia de a (do centro até a superfície da esfera).
Então, a integral para o volume
é:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
.
Os limites de integração para
quando
é
e quando
,
.
A integral em
fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A resposta correta é a letra (d)
.