Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
d) integral e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de em relação a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a Regra da Substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observando a função u = 3x , percebemos que o expoente pode ser uma boa escolha para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 3 Rightarrow du = 3,dx em relação a dx = du3 para encontrar . Derivando ambos os lados:
Isso nos permite expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir integral e^3x , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du e na integral original:

Passo 5

A integral de 13 integral e^u , du = 13 e^u + C em relação a é simplesmente . Então, continuando:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 13 e^u + C = 13 e^3x + C de volta por para voltar à variável original:

Resposta

A integral de integral e^3x , dx = 13 e^3x + C em relação a é:

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