Use a a regra da substituição para calcular as integrais abaixo:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos a integral de
em relação a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a Regra da Substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a resolução. Observando a função
, percebemos que o expoente
pode ser uma boa escolha para substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Derivando ambos os lados:
Isso nos permite expressar
em termos de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então, continuando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta por
para voltar à variável original:
Resposta
A integral de
em relação a
é: