Determine o volume do sólido
limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido
no espaço tridimensional (
) que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido:
- Cilindro parabólico
: Essa é uma superfície parabólica que se abre ao longo do eixo . - Plano
: Este é o plano , o “chão” do nosso espaço tridimensional. - Plano
: Este plano inclina-se de forma que, para cada valor de , o valor de é igual a . - Plano
: Este é um plano vertical paralelo ao eixo e ao eixo , localizado em .
Passo 3
Para encontrar os limites de integração, vamos identificar as interseções dessas superfícies:
- Entre
e : Quando e , temos , ou seja, . - Entre
e : O plano corresponde ao “chão”, então varia de 0 até (já que ).
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Vamos integrar primeiro em relação a
, de
até
, e depois em relação a
e
:
Passo 5
Vamos calcular a integral em ordem. Primeiro, integraremos em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
A integral agora é:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A resposta correta é a opção c)
.