Determine o volume do sólido E ⊂ R^3 limitado pelo cilindro parabólico x = y^2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.
(a) 5/8
(b) 4/7
© 4/5
(d) 5/6
(e) 2/3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos determinar o volume de um sólido no espaço tridimensional ( ) que é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies que delimitam o sólido:
  • Cilindro parabólico : Essa é uma superfície parabólica que se abre ao longo do eixo .
  • Plano : Este é o plano , o “chão” do nosso espaço tridimensional.
  • Plano : Este plano inclina-se de forma que, para cada valor de , o valor de é igual a .
  • Plano : Este é um plano vertical paralelo ao eixo e ao eixo , localizado em .

Passo 3

Para encontrar os limites de integração, vamos identificar as interseções dessas superfícies:
  • Entre e : Quando e , temos , ou seja, .
  • Entre e : O plano corresponde ao “chão”, então varia de 0 até (já que ).

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. Vamos integrar primeiro em relação a , de até , e depois em relação a e :

Passo 5

Vamos calcular a integral em ordem. Primeiro, integraremos em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
A integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

A resposta correta é a opção c) .

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