Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma lâmina triangular no plano com os vértices em , e . A densidade dessa lâmina é dada por . Nosso objetivo é encontrar a coordenada do centro de massa dessa lâmina. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculos de massa e momentos, especificamente integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a massa total da lâmina. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a região do triângulo. A fórmula para a massa é:
Passo 3
Em seguida, para encontrar a coordenada do centro de massa, usamos a fórmula do momento em relação ao eixo :
Isso significa que precisamos calcular a integral dupla de sobre a região e depois dividir pela massa total .
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para a região triangular . Observando os vértices , e , vemos que:
A variável varia de 0 a 1.
Para cada , a variável varia de 0 até a linha que une e . A equação dessa linha é .
Passo 5
Agora, calculamos a massa :
Primeiro, integramos em relação a .
Passo 6
Integrando a função densidade em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a para encontrar a massa :
Passo 8
Agora, calculamos o momento :
Primeiro, integramos em relação a .
Passo 9
Integrando a função em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos o resultado em relação a para encontrar o momento :
Passo 11
Finalmente, calculamos a coordenada do centro de massa:
Resposta
A coordenada do centro de massa é . A opção correta é a letra (b) .