Seja D ⊆ R^2 uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0), (0,2) e função densidade dada por rho(x, y) = 1 + 3*x + y. Calcule a coordenada de seu, centro de massa (x̄, ȳ) · × ponto.
(a). 11/4
(b) 3/8
© 3/16
(d) 11/16
(e) 7/12

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo. Temos uma lâmina triangular no plano com os vértices em , e . A densidade dessa lâmina é dada por . Nosso objetivo é encontrar a coordenada do centro de massa dessa lâmina. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculos de massa e momentos, especificamente integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa total da lâmina. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a região do triângulo. A fórmula para a massa é:

Passo 3

Em seguida, para encontrar a coordenada do centro de massa, usamos a fórmula do momento em relação ao eixo :
Isso significa que precisamos calcular a integral dupla de sobre a região e depois dividir pela massa total .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para a região triangular . Observando os vértices , e , vemos que:
  • A variável varia de 0 a 1.
  • Para cada , a variável varia de 0 até a linha que une e . A equação dessa linha é .

Passo 5

Agora, calculamos a massa :
Primeiro, integramos em relação a .

Passo 6

Integrando a função densidade em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a para encontrar a massa :

Passo 8

Agora, calculamos o momento :
Primeiro, integramos em relação a .

Passo 9

Integrando a função em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos o resultado em relação a para encontrar o momento :

Passo 11

Finalmente, calculamos a coordenada do centro de massa:

Resposta

A coordenada do centro de massa é . A opção correta é a letra (b) .

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