Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
é girada em torno do eixo
. Vamos precisar usar o cálculo de integrais, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área que está sendo girada. A função
é uma raiz cúbica de
, que começa na origem (0,0) e cresce para a direita. As retas
e
delimitam a região horizontalmente, e
é o eixo
, delimitando a região verticalmente.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, que é basicamente o eixo
para baixo, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área dos discos infinitesimais formados durante a rotação.
Passo 4
A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui,
é a função que define a borda da região, e
é o raio ao quadrado do disco em cada ponto
.
Passo 5
Identificamos os limites de integração
e
, pois estamos considerando a região de
a
. A função
será usada na fórmula do volume.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Simplificando
, obtemos
.
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral.
Passo 8
A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos para o cálculo do volume.
Passo 9
Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando, já que
:
Passo 10
Calculando
, lembrando que
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é
unidades cúbicas.
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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e