Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas , pelas retas , e é girada em torno do eixo . Vamos precisar usar o cálculo de integrais, mais especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que está sendo girada. A função é uma raiz cúbica de , que começa na origem (0,0) e cresce para a direita. As retas e delimitam a região horizontalmente, e é o eixo , delimitando a região verticalmente.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , que é basicamente o eixo para baixo, podemos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área dos discos infinitesimais formados durante a rotação.

Passo 4

A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui, é a função que define a borda da região, e é o raio ao quadrado do disco em cada ponto .

Passo 5

Identificamos os limites de integração e , pois estamos considerando a região de a . A função será usada na fórmula do volume.

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume, temos:
Simplificando , obtemos .

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral.

Passo 8

A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos para o cálculo do volume.

Passo 9

Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando, já que :

Passo 10

Calculando , lembrando que , então:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.

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