Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos em torno do eixo a região delimitada pelas curvas , , e as retas e . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor a região que vamos girar. A função é uma reta que desce de a , e é uma curva cúbica que passa por e cresce à medida que aumenta. As retas e delimitam a região no intervalo de a .

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo , que é basicamente o mesmo que girar em torno do eixo (a direção não afeta o volume), vamos usar o método dos anéis (ou discos). Esse método envolve integrar a área da diferença entre os quadrados das funções que limitam a região.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Aqui, é a função de cima e a de baixo no intervalo considerado, que nesse caso é de a .

Passo 5

Identificamos que está sempre acima de nesse intervalo. Então, substituímos na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos desenvolver os quadrados:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido gerado é:
ú

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