Responda: Qual a boa condição que garante a convergência de uma série alternada?

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma questão sobre séries alternadas. Basicamente, queremos saber qual condição garante que uma série alternada vai convergir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o teste da série alternada e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Um exemplo seria:
Agora, para garantir que uma série alternada convirja, usamos o Teste da Série Alternada, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste estabelece duas condições principais:
  1. Monotonicidade Decrescente: Os termos da série, sem contar os sinais, devem estar diminuindo. Ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior: .
  2. Limite Zero: O limite dos termos quando tende ao infinito deve ser zero: .
Se essas duas condições forem satisfeitas, então a série alternada converge.

Passo 3

Vamos ver um exemplo rápido para entender melhor. Considere a série:
  1. Monotonicidade: Os termos estão diminuindo conforme aumenta.
  2. Limite Zero: .
Como as duas condições são atendidas, essa série alternada converge.

Resposta

A boa condição que garante a convergência de uma série alternada é que os termos positivos diminuam de forma monotônica e que o limite deles seja zero. Ou seja, se para todo e , então a série alternada converge.

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