Responda: Qual a boa condição que garante a convergência de uma série alternada?
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma questão sobre séries alternadas. Basicamente, queremos saber qual condição garante que uma série alternada vai convergir. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o teste da série alternada e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal alternadamente, tipo positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Um exemplo seria:
Agora, para garantir que uma série alternada convirja, usamos o Teste da Série Alternada, também conhecido como Teste de Leibniz. Esse teste estabelece duas condições principais:
-
Monotonicidade Decrescente: Os termos da série, sem contar os sinais, devem estar diminuindo. Ou seja, cada termo é menor ou igual ao anterior:
. -
Limite Zero: O limite dos termos quando
tende ao infinito deve ser zero: .
Se essas duas condições forem satisfeitas, então a série alternada converge.
Passo 3
Vamos ver um exemplo rápido para entender melhor. Considere a série:
- Monotonicidade: Os termos
estão diminuindo conforme aumenta. - Limite Zero:
.
Como as duas condições são atendidas, essa série alternada converge.
Resposta
A boa condição que garante a convergência de uma série alternada é que os termos positivos diminuam de forma monotônica e que o limite deles seja zero. Ou seja, se
para todo
e
, então a série alternada
converge.
Exercícios relacionados
Responda: Qual a condição necessária e suficiente para a convergência de uma sequência monótona?
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Responda: Dê exemplos de duas séries
divergentes tal que
converge.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e