Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada pelas curvas , pelas retas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que será girada. Temos a função , que é a raiz cúbica de , e as retas , e . Essa região está situada no primeiro quadrante do plano cartesiano, entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno do eixo . O eixo é simplesmente o eixo apontando na direção negativa, mas como estamos calculando volumes, a direção não altera o resultado. Usaremos o método dos cilindros, que consiste em imaginar fatias verticais da região que, ao serem giradas, formam cilindros infinitamente finos.

Passo 4

O volume de cada cilindro é dado pela fórmula , onde:
  • é a circunferência do cilindro,
  • é a altura do cilindro,
  • é a espessura infinitesimal do cilindro.
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de a :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que , então:
Agora, vamos integrar :
Portanto, substituindo os limites de integração:

Passo 6

Vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Responda: Dê exemplos de duas séries divergentes tal que converge.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e