Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que será girada. Temos a função
, que é a raiz cúbica de
, e as retas
,
e
. Essa região está situada no primeiro quadrante do plano cartesiano, entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno do eixo
. O eixo
é simplesmente o eixo
apontando na direção negativa, mas como estamos calculando volumes, a direção não altera o resultado. Usaremos o método dos cilindros, que consiste em imaginar fatias verticais da região que, ao serem giradas, formam cilindros infinitamente finos.
Passo 4
O volume de cada cilindro é dado pela fórmula
, onde:
-
é a circunferência do cilindro, -
é a altura do cilindro, -
é a espessura infinitesimal do cilindro.
Para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então:
Agora, vamos integrar
:
Portanto, substituindo os limites de integração:
Passo 6
Vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Responda: Dê exemplos de duas séries
divergentes tal que
converge.
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e