Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas , , e é girada em torno do eixo (basicamente, o eixo ). Para isso, vamos usar o conceito de volume de revolução, que geralmente envolve calcular integrais usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. Imagina o gráfico de entre e . Essa curva está acima do eixo (já que é uma das delimitações). Quando giramos essa área ao redor do eixo , formamos um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A ideia é dividir o sólido em discos infinitamente finos, calcular a área de cada disco e integrar essas áreas ao longo do intervalo de .
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
No nosso caso, , e . Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Juntando tudo:
Agora, vamos calcular o valor definido de a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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