Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
é girada em torno do eixo
(basicamente, o eixo
). Para isso, vamos usar o conceito de volume de revolução, que geralmente envolve calcular integrais usando o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. Imagina o gráfico de
entre
e
. Essa curva está acima do eixo
(já que
é uma das delimitações). Quando giramos essa área ao redor do eixo
, formamos um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A ideia é dividir o sólido em discos infinitamente finos, calcular a área de cada disco e integrar essas áreas ao longo do intervalo de
.
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Juntando tudo:
Agora, vamos calcular o valor definido de
a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e