Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos, em torno do eixo
, a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos utilizar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas).
Passo 2
Primeiro, é importante entender a região que vamos rotacionar. Temos a curva
entre
e
. A linha
é o eixo
. Então, a região está limitada por essas curvas e pelos valores de
mencionados.
Passo 3
Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo
, o método dos cilindros é ideal. Esse método consiste em imaginar cilindros infinitamente finos empilhados ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do cilindro ao eixo de rotação, e
é a altura do cilindro.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
-
- Os limites de integração são de
a
Então, a integral fica:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Resposta
Portanto, o volume do sólido gerado é:
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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e