Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular para a parte não homogênea (os termos com
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para resolver equações lineares homogêneas constantes. A equação característica para essa equação é:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a parte não homogênea da equação:
. Vamos tratar cada termo separadamente.
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Resolvendo para
:
Então, a primeira solução particular é:
Passo 6
Agora, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes a serem encontradas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso resulta em:
Para que isso seja igual a
, observamos que nossos termos não correspondem. Isso significa que a forma assumida para
não é suficiente, então precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo quadrático:
Assumimos
. Porém, para simplificar, geralmente assume-se
e ajusta-se conforme necessário. No entanto, neste caso específico, ajustamos a solução particular como:
Seguindo os mesmos passos de derivação e substituição, encontramos
e
. Então,
Passo 7
Agora, juntamos todas as partes para obter a solução geral da equação original:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do P.V.I e faça um esboço do gráfico:
;
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Verifique se a integral imprópria converge ou diverge:
, integral indo de e a + infinito.
Calcular o comprimento de arco da curva dada por
entre os pontos
e
.