Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea: ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular para a parte não homogênea (os termos com e ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica, que é uma ferramenta para resolver equações lineares homogêneas constantes. A equação característica para essa equação é:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular para a parte não homogênea da equação: . Vamos tratar cada termo separadamente.
Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Resolvendo para :
Então, a primeira solução particular é:

Passo 6

Agora, para o termo , assumimos uma solução particular da forma , onde e são constantes a serem encontradas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso resulta em:
Para que isso seja igual a , observamos que nossos termos não correspondem. Isso significa que a forma assumida para não é suficiente, então precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo quadrático:
Assumimos . Porém, para simplificar, geralmente assume-se e ajusta-se conforme necessário. No entanto, neste caso específico, ajustamos a solução particular como:
Seguindo os mesmos passos de derivação e substituição, encontramos e . Então,

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes para obter a solução geral da equação original:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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