Encontre a solução do P.V.I e faça um esboço do gráfico:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do tipo
com condições iniciais
e
. Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica e depois usar as condições iniciais pra determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial é
, então a característica é
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais distintas.
Passo 5
Calculando as raízes:
Portanto:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais pra encontrar
e
.
Primeiro,
:
Então,
.
Segundo,
. Vamos achar a derivada:
Aplicando
:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 8
Substituindo os valores de
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Esse é o gráfico que descreve o comportamento de
ao longo do tempo, mostrando como a função cresce e decai conforme as exponenciais influenciam a solução.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,
Verifique se a integral imprópria converge ou diverge:
, integral indo de e a + infinito.