Seja a função ( ) Determine as concavidades c pontos de inflexaio de .

Passo 1

O desafio aqui é encontrar as concavidades e os pontos de inflexão da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de , que nos dá a inclinação da função. Vamos derivar .
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, , que nos ajudará a determinar a concavidade da função.
Derivando novamente usando a regra do quociente:
Simplificando os termos do numerador:

Passo 4

Para encontrar as concavidades, analisamos o sinal da segunda derivada :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos identificar onde muda de sinal.
  1. Dominador não pode ser zero: (ponto de descontinuidade).
  2. Numerador igual a zero: .

Passo 5

Analisando os intervalos determinados por e :
  • Para :
    • Numerador negativo.
    • Denominador negativo (pois e ao cubo permanece negativo).
    • : Côncava para cima.
  • Para :
    • Numerador positivo.
    • Denominador negativo.
    • : Côncava para baixo.
  • Para :
    • Numerador negativo.
    • Denominador positivo.
    • : Côncava para baixo.

Passo 6

Identificamos que a concavidade muda em , indicando um ponto de inflexão. Além disso, é uma assíntota vertical, mas não um ponto de inflexão.

Resposta

A função é concava para cima no intervalo , concava para baixo em , e possui um ponto de inflexão em .

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