Seja a função
(
) Determine as concavidades c pontos de inflexaio de
.
Passo 1
O desafio aqui é encontrar as concavidades e os pontos de inflexão da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em termos de curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
, que nos dá a inclinação da função. Vamos derivar
.
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
, que nos ajudará a determinar a concavidade da função.
Derivando
novamente usando a regra do quociente:
Simplificando os termos do numerador:
Passo 4
Para encontrar as concavidades, analisamos o sinal da segunda derivada
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos identificar onde
muda de sinal.
- Dominador não pode ser zero:
(ponto de descontinuidade). - Numerador igual a zero:
.
Passo 5
Analisando os intervalos determinados por
e
:
-
Para
: - Numerador negativo.
- Denominador negativo (pois
e ao cubo permanece negativo). -
: Côncava para cima.
-
Para
: - Numerador positivo.
- Denominador negativo.
-
: Côncava para baixo.
-
Para
: - Numerador negativo.
- Denominador positivo.
-
: Côncava para baixo.
Passo 6
Identificamos que a concavidade muda em
, indicando um ponto de inflexão. Além disso,
é uma assíntota vertical, mas não um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é concava para cima no intervalo
, concava para baixo em
, e possui um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Seja a função
Determine o dominio de
, a interseccăo com os eixos e as simetrias (se houver).
Calcale as derivadas da função
dada por:
Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Esboce o sólido.
Uma lâmina ocupa o disco
. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto à reta
.