Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é , onde a região é limitada abaixo pelo cone e acima pela esfera . Para resolver isso, vamos utilizar as coordenadas esféricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo polar, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
  • : o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano a partir do eixo .
As coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas pelas seguintes fórmulas:

Passo 3

A função que precisamos integrar é . Observando essa expressão, percebemos que ela representa a distância do ponto até a origem, que em coordenadas esféricas é simplesmente . Portanto, a função a ser integrada fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • : Como a região está limitada acima pela esfera , varia de 0 a 1.
  • : A região está limitada abaixo pelo cone , então varia de 0 a .
  • : Como não há restrição em torno do eixo , varia de 0 a .

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Portanto, a integral tripla fica:

Passo 6

Substituindo os limites de integração que determinamos:

Passo 7

Vamos resolver a integral começando por :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em :
Substituindo de volta:

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em :
Portanto, a integral completa é:

Passo 10

Simplificando a expressão final:

Resposta

A integral vale .

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Calcule a integral dada
; onde é limitado pelos planos
Simplifique as expressões:
Determine o volume do sólido limitado pelos planos .