Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 d V; onde E é limitado abaixo pelo cone varphi=pi4 e acima pela esfera rho=1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é , onde a região é limitada abaixo pelo cone e acima pela esfera . Para resolver isso, vamos utilizar as coordenadas esféricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • x = rho sin varphi cos theta : a distância do ponto até a origem.
  • y = rho sin varphi sin theta : o ângulo polar, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z = rho cos varphi .
  • : o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano a partir do eixo .
As coordenadas cartesianas se relacionam com as esféricas pelas seguintes fórmulas:

Passo 3

A função que precisamos integrar é raizx^2+y^2+z^2 = rho . Observando essa expressão, percebemos que ela representa a distância do ponto até a origem, que em coordenadas esféricas é simplesmente . Portanto, a função a ser integrada fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • : Como a região está limitada acima pela esfera , varia de 0 a 1.
  • : A região está limitada abaixo pelo cone , então varia de 0 a .
  • : Como não há restrição em torno do eixo , varia de 0 a .

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta é dado por:
integral triplaE rho cdot rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta = integral triplaE rho^3 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta
Portanto, a integral tripla fica:

Passo 6

Substituindo os limites de integração que determinamos:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 rho^3 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral começando por integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :
14 integral0^2pi integral0^pi4 sin varphi , dvarphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em integral0^pi4 sin varphi , dvarphi = [ -cos varphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22 :
14 (1 - raiz22) integral0^2pi dtheta
Substituindo de volta:

Passo 9

Finalmente, resolvemos a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
14 (1 - raiz22) cdot 2pi = pi2 (1 - raiz22)
Portanto, a integral completa é:

Passo 10

Simplificando a expressão final:
pi2 - pi raiz24

Resposta

A integral vale .

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