Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é
, onde a região
é limitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Para resolver isso, vamos utilizar as coordenadas esféricas e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo polar, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . -
: o ângulo azimutal, que é o ângulo no plano a partir do eixo .
As coordenadas cartesianas
se relacionam com as esféricas
pelas seguintes fórmulas:
Passo 3
A função que precisamos integrar é
. Observando essa expressão, percebemos que ela representa a distância do ponto
até a origem, que em coordenadas esféricas é simplesmente
. Portanto, a função a ser integrada fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
-
: Como a região está limitada acima pela esfera , varia de 0 a 1. -
: A região está limitada abaixo pelo cone , então varia de 0 a . -
: Como não há restrição em torno do eixo , varia de 0 a .
Passo 5
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Portanto, a integral tripla fica:
Passo 6
Substituindo os limites de integração que determinamos:
Passo 7
Vamos resolver a integral começando por
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Finalmente, resolvemos a integral em
:
Portanto, a integral completa é:
Passo 10
Simplificando a expressão final:
Resposta
A integral vale
.
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Determine o volume do sólido acima do parabolóide
e abaixo do plano
Calcule a integral dada
; onde
é limitado pelos planos
Simplifique as expressões:
Determine o volume do sólido limitado pelos planos
.