Seja
a porção da região simultaneamente interior às curvas
e
que está situada no exterior da curva
. Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região
;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região
.
(a) a área da região
(b) o comprimento de arco da fronteira da região
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma região
que está dentro das curvas
e
, mas fora da curva
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as integrais que vão nos ajudar a calcular duas coisas: (a) a área dessa região
, e (b) o comprimento do arco que forma a fronteira dessa região. Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. As curvas
e
são equações em coordenadas polares que representam círculos. A curva
é um círculo de raio 1. Vamos visualizar onde essas curvas se intersectam para definir bem a região
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção entre
e
, igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
. A região
estará entre
e
. Além disso, como estamos considerando o exterior da curva
, precisamos garantir que as integrais considerem essa condição.
Passo 5
Para a parte (a), que é calcular a área da região
, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui,
será a maior distância em cada ponto
, e
será a menor, que no nosso caso é
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da área, temos:
Dividimos a integral em dois intervalos porque a curva externa muda de
para
nesse ponto de interseção.
Passo 7
Agora, para a parte (b), que é calcular o comprimento de arco da fronteira da região
, usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
Vamos aplicar essa fórmula para cada parte da fronteira.
Passo 8
Aplicando a fórmula do comprimento de arco para cada curva que forma a fronteira de
:
Não esqueça de adicionar o comprimento da curva
que também faz parte da fronteira.
Resposta
As integrais que permitem calcular a área da região
e o comprimento de arco da fronteira de
são:
(a) Área da região
:
(b) Comprimento de arco da fronteira da região
:
Onde a última parte
representa o comprimento da curva
.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem, então
converge.
Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e
;
(b) e
.
© e
;
(d) e
;
(e) e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com
;
(b) e
, com
;
© e
, com
;
(d) e
;
(e) , com
;
(f) , com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva
acima do eixo
, é rotacionada em torno da reta
.