Seja a porção da região simultaneamente interior às curvas e que está situada no exterior da curva . Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma região que está dentro das curvas e , mas fora da curva . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as integrais que vão nos ajudar a calcular duas coisas: (a) a área dessa região , e (b) o comprimento do arco que forma a fronteira dessa região. Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. As curvas e são equações em coordenadas polares que representam círculos. A curva é um círculo de raio 1. Vamos visualizar onde essas curvas se intersectam para definir bem a região .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção entre e , igualamos as duas equações:
Dividindo ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Então, .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para . A região estará entre e . Além disso, como estamos considerando o exterior da curva , precisamos garantir que as integrais considerem essa condição.

Passo 5

Para a parte (a), que é calcular a área da região , usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui, será a maior distância em cada ponto , e será a menor, que no nosso caso é .

Passo 6

Aplicando a fórmula da área, temos:
Dividimos a integral em dois intervalos porque a curva externa muda de para nesse ponto de interseção.

Passo 7

Agora, para a parte (b), que é calcular o comprimento de arco da fronteira da região , usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
Vamos aplicar essa fórmula para cada parte da fronteira.

Passo 8

Aplicando a fórmula do comprimento de arco para cada curva que forma a fronteira de :
Não esqueça de adicionar o comprimento da curva que também faz parte da fronteira.

Resposta

As integrais que permitem calcular a área da região e o comprimento de arco da fronteira de são:
(a) Área da região :
(b) Comprimento de arco da fronteira da região :
Onde a última parte representa o comprimento da curva .

Exercícios relacionados

Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem, então converge.
Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
(a) e ;
(b) e .
© e ;
(d) e ;
(e) e .
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com ;
(b) e , com ;
© e , com ;
(d) e ;
(e) , com ;
(f) , com .
Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva acima do eixo , é rotacionada em torno da reta .