Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = raiz(x) e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno:
Da reta x = 4

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de cálculo que quer descobrir o volume de um sólido que é formado girando uma certa região ao redor da reta x = 4. A região que estamos considerando está limitada pela curva , pela reta y = 2, e pela reta x = 0. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros (também conhecido como método dos anéis), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva pode ser reescrita como . A reta y = 2 corta essa curva quando , ou seja, quando y = 2, x = 4. Então, nossos limites de y vão de 0 a .

Passo 3

Agora, como vamos girar em torno da reta x = 4, precisamos calcular a distância de cada “cilindro” à essa reta. A distância radial será .

Passo 4

O volume de um pequeno cilindro é dado pela área da face circular vezes a altura. A área da face é e a altura é (já que estamos integrando em relação a y). Então, o volume infinitesimal é:

Passo 5

Para encontrar o volume total, integramos de y = 0 a y = 2:

Passo 6

Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Somando tudo:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule os limites a baixo
3) lim x 0 x+4x+1
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r(t) = <sen(t), t>
Calcule os limites a baixo
2) lim x 0 x+1
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5) lim x 1 x^2+1
x 1