Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
r(t) = <sen(t), t>

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação vetorial que define uma curva: . O conteúdo aqui envolve equações paramétricas e gráficos de curvas no plano. Para resolver, vamos precisar saber como desenhar curvas a partir de equações paramétricas e entender o comportamento das funções trigonométricas, como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes. A equação significa que:
  • A coordenada é
  • A coordenada é
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos pensar em como desenhar isso. Para cada valor de , temos um ponto no plano. Como é simplesmente , isso significa que à medida que aumenta, aumenta linearmente.

Passo 4

A coordenada nos diz que, para cada valor de , vai oscilar entre e , já que a função seno tem esse comportamento. Ou seja, enquanto aumenta, vai fazendo um movimento de vai e vem entre e .

Passo 5

Juntando as duas informações, a curva vai se parecer com uma espiral para cima, mas nesse caso, como estamos no plano, vai ser uma linha vertical (já que aumenta indefinidamente) com ondulações horizontais causadas pelo .

Passo 6

Para desenhar o gráfico:
  1. Trace o eixo de baixo para cima.
  2. Para cada valor de (que é igual a ), desenhe um ponto cuja coordenada é .
  3. Como oscila entre e , os pontos vão se mover para a direita e para a esquerda ao redor do eixo , formando uma espécie de “ziguezague” vertical.

Passo 7

Sobre as setas indicando a direção do crescimento de , como aumenta conforme aumenta, as setas devem apontar para cima na direção crescente do eixo .

Resposta

O gráfico da curva é uma linha vertical com ondulações horizontais oscilando entre e no eixo , estendendo-se indefinidamente para cima no eixo . As setas no gráfico apontam para cima, indicando que conforme aumenta, a curva se move para cima.

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