Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação vetorial que define uma curva:
. O conteúdo aqui envolve equações paramétricas e gráficos de curvas no plano. Para resolver, vamos precisar saber como desenhar curvas a partir de equações paramétricas e entender o comportamento das funções trigonométricas, como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação vetorial nas suas componentes. A equação
significa que:
- A coordenada
é - A coordenada
é
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos pensar em como desenhar isso. Para cada valor de
, temos um ponto
no plano. Como
é simplesmente
, isso significa que à medida que
aumenta,
aumenta linearmente.
Passo 4
A coordenada
nos diz que, para cada valor de
,
vai oscilar entre
e
, já que a função seno tem esse comportamento. Ou seja, enquanto
aumenta,
vai fazendo um movimento de vai e vem entre
e
.
Passo 5
Juntando as duas informações, a curva vai se parecer com uma espiral para cima, mas nesse caso, como estamos no plano, vai ser uma linha vertical (já que
aumenta indefinidamente) com ondulações horizontais causadas pelo
.
Passo 6
Para desenhar o gráfico:
- Trace o eixo
de baixo para cima. - Para cada valor de
(que é igual a ), desenhe um ponto cuja coordenada é . - Como
oscila entre e , os pontos vão se mover para a direita e para a esquerda ao redor do eixo , formando uma espécie de “ziguezague” vertical.
Passo 7
Sobre as setas indicando a direção do crescimento de
, como
aumenta conforme
aumenta, as setas devem apontar para cima na direção crescente do eixo
.
Resposta
O gráfico da curva
é uma linha vertical com ondulações horizontais oscilando entre
e
no eixo
, estendendo-se indefinidamente para cima no eixo
. As setas no gráfico apontam para cima, indicando que conforme
aumenta, a curva se move para cima.
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