Determine o volume do sólido pelo paraboloide elíptico 16 = x² + 2y² + z, os planos x = 2 e y = 2 e os planos coordenados x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido limitado pelo paraboloide elíptico dado por 16 = x^2 + 2y^2 + z, pelos planos x = 2, y = 2 e pelos planos coordenados x, y e z. Vamos usar o cálculo integral múltiplo para resolver isso, especificamente integrais triplas. Precisaremos definir os limites de integração com base nas superfícies e nos planos que delimitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar z em função de x e y:
z = 16 - x^2 - 2y^2
Isso nos dá a superfície superior do sólido. Os planos coordenados x, y e z correspondem aos eixos x = 0, y = 0 e z = 0, que formam a base do sólido. Além disso, temos os planos x = 2 e y = 2 que limitam o sólido nos eixos x e y respectivamente.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração para cada variável. Começaremos integrando em z, depois em y e, por último, em x.
Para z, ele varia do plano inferior z = 0 até a superfície superior z = 16 - x^2 - 2y^2:
0 <= z <= 16 - x^2 - 2y^2
Para y, ele varia do plano y = 0 até y = 2:
0 <= y <= 2
Para x, varia do plano x = 0 até x = 2:
0 <= x <= 2

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume V do sólido:
V = integralx=0^2 integraly=0^2 integralz=0^16 - x^2 - 2y^2 dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral mais interna, com respeito a z:
integral0^16 - x^2 - 2y^2 dz = [ z ]0^16 - x^2 - 2y^2 = 16 - x^2 - 2y^2
Então, a integral simplifica para:
V = integral0^2 integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar com respeito a y:
integral0^2 (16 - x^2 - 2y^2) , dy = integral0^2 16 , dy - integral0^2 x^2 , dy - integral0^2 2y^2 , dy
Calculando cada parte:
integral0^2 16 , dy = 16y |0^2 = 32
integral0^2 x^2 , dy = x^2 y |0^2 = 2x^2
integral0^2 2y^2 , dy = 2 cdot y^33 |0^2 = 163
Substituindo de volta:
32 - 2x^2 - 163 = (32 - 163) - 2x^2 = 96 - 163 - 2x^2 = 803 - 2x^2
Então, a integral agora é:
V = integral0^2 ( 803 - 2x^2 ) dx

Passo 7

Finalmente, vamos integrar com respeito a x:
integral0^2 ( 803 - 2x^2 ) dx = 803 x |0^2 - 2 cdot x^33 |0^2
Calculando cada parte:
803 cdot 2 = 1603
2 cdot 83 = 163
Subtraindo:
1603 - 163 = 1443 = 48

Resposta

O volume do sólido é igual a 48 unidades cúbicas.

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