Determine o volume do sólido pelo paraboloide elíptico 16 = x² + 2y² + z, os planos x = 2 e y = 2 e os planos coordenados x, y e z.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido limitado pelo paraboloide elíptico dado por , pelos planos , e pelos planos coordenados , e . Vamos usar o cálculo integral múltiplo para resolver isso, especificamente integrais triplas. Precisaremos definir os limites de integração com base nas superfícies e nos planos que delimitam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação do paraboloide para expressar em função de e :
Isso nos dá a superfície superior do sólido. Os planos coordenados , e correspondem aos eixos , e , que formam a base do sólido. Além disso, temos os planos e que limitam o sólido nos eixos e respectivamente.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração para cada variável. Começaremos integrando em , depois em e, por último, em .
Para , ele varia do plano inferior até a superfície superior :
Para , ele varia do plano até :
Para , varia do plano até :
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume do sólido:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral mais interna, com respeito a :