Qual o valor do raio da série de potência ;
a) ;
b) ;
c)
d)
e)
Passo 1
Então, galera! Temos aqui um exercício que pede para encontrar o raio de convergência da série de potência:
Vamos usar conceitos de séries de potência e testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender como aplicar o Teste da Razão para determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste:
Aqui, identificamos que a série está na forma geral:
onde e .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de séries de potência. O teste afirma que a série converge se:
Vamos calcular esse limite:
limn to infty | (n+1)^2 (x - 22)^n+1n^2 (x - 22)^n | = limn to infty | (n+1)^2n^2 cdot x - 22 |
Simplificando:
limn to infty | (1 + 1n)^2 cdot x - 22 | = | x - 22 |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x - 22 | < 1
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
| x - 22 | < 1 implies |x - 2| < 2
Isso significa que está a uma distância de 2 unidades de 2 no eixo real. Portanto, o raio de convergência é 2.