Qual o valor do raio da série de potência sumn=0^+infty n^2(x2-1)^n;
a) R=12;
b) R=+infty;
c) R=2
d) R=1
e) R=0

Passo 1

Então, galera! Temos aqui um exercício que pede para encontrar o raio de convergência da série de potência:
sumn=0^+infty n^2(x2 -1)^n
Vamos usar conceitos de séries de potência e testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender como aplicar o Teste da Razão para determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste:
sumn=0^+infty n^2(x2 -1)^n = sumn=0^+infty n^2 (x - 22)^n
Aqui, identificamos que a série está na forma geral:
sumn=0^+infty an r^n
onde e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência de séries de potência. O teste afirma que a série converge se:
limn to infty | an+1 r^n+1an r^n | < 1
Vamos calcular esse limite:
limn to infty | (n+1)^2 (x - 22)^n+1n^2 (x - 22)^n | = limn to infty | (n+1)^2n^2 cdot x - 22 |
Simplificando:
limn to infty | (1 + 1n)^2 cdot x - 22 | = | x - 22 |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x - 22 | < 1

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
| x - 22 | < 1 implies |x - 2| < 2
Isso significa que está a uma distância de 2 unidades de 2 no eixo real. Portanto, o raio de convergência é 2.

Resposta

A resposta correta é a letra c) .

Exercícios relacionados