Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w= f(x, y, z), a massa de W é definida por:
MW=integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
Calcule a massa do sólido dado por
W=(x, y, z) in R^3 ; x=0, y=0, z=0, x+y=1, z=x+y
sendo a densidade f(x, y, z)=z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sólido não homogêneo onde a densidade em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é calcular a massa desse sólido usando uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como esse sólido está definido no espaço tridimensional e como configurar a integral tripla para encontrar a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W = (x, y, z) in R^3 ; x=0, y=0, z=0, x+y=1, z=x+y descrita pelas condições:
Isso significa que é limitado por:
  • Os planos , e , que são os eixos coordenados.
  • O plano , que é um plano inclinado.
  • A condição , que relaciona com e .
Visualizando isso, é um tetraedro limitado pelos planos mencionados. Vamos identificar os limites de integração para , e .

Passo 3

Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites para cada variável:
  1. Para MW = integral0^1 integral0^1 - x integral0^x + y z , dz , dy , dx : Olhando para a condição , o valor de varia de 0 a 1.
  2. Para : Para cada valor de , varia de 0 a (derivado de ).
  3. Para : A condição nos dá que varia de 0 a .
Então, a integral para a massa fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integral em integral0^x + y z , dz = [ z^22 ]0^x + y = (x + y)^22 :
integral0^1 - x (x + y)^22 , dy
  1. Integral em 12 integral0^1 - x ( x^2 + 2xy + y^2 ) dy = 12 [ x^2y + x y^2 + y^33 ]0^1 - x :
12 ( x^2(1 - x) + x(1 - x)^2 + (1 - x)^33 )
Vamos expandir x^2(1 - x) = x^2 - x^3 , então:
x(1 - x)^2 = x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3
Substituindo (1 - x)^33 = 1 - 3x + 3x^2 - x^33 :
x^2 - x^3 + x - 2x^2 + x^3 + 13 - x + x^2 - x^33 = 13 ( 1 - x^3 )
  1. Simplificando a expressão:
    Calculando cada termo:
12 cdot 1 - x^33 = 1 - x^36
integral0^1 1 - x^36 , dx = 16 integral0^1 (1 - x^3) , dx = 16 [ x - x^44 ]0^1 = 16 ( 1 - 14 ) = 16 cdot 34 = 18
Somando tudo:
Multiplicando por :
  1. Integral em :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

Exercícios relacionados