Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, a massa de
é definida por:
Calcule a massa do sólido dado por
sendo a densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sólido não homogêneo
onde a densidade em cada ponto é dada por
. Nosso objetivo é calcular a massa desse sólido usando uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como esse sólido
está definido no espaço tridimensional e como configurar a integral tripla para encontrar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
descrita pelas condições:
Isso significa que
é limitado por:
- Os planos
, e , que são os eixos coordenados. - O plano
, que é um plano inclinado. - A condição
, que relaciona com e .
Visualizando isso,
é um tetraedro limitado pelos planos mencionados. Vamos identificar os limites de integração para
,
e
.
Passo 3
Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites para cada variável:
- Para
: Olhando para a condição , o valor de varia de 0 a 1. - Para
: Para cada valor de , varia de 0 a (derivado de ). - Para
: A condição nos dá que varia de 0 a .
Então, a integral para a massa
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
Vamos expandir
, então:
Substituindo
:
- Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Multiplicando por
:
- Integral em
:
Resposta
A massa do sólido
é
unidades de massa.