Se é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por , a massa de é definida por:
Calcule a massa do sólido dado por
sendo a densidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sólido não homogêneo onde a densidade em cada ponto é dada por . Nosso objetivo é calcular a massa desse sólido usando uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como esse sólido está definido no espaço tridimensional e como configurar a integral tripla para encontrar a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região descrita pelas condições:
Isso significa que é limitado por:
  • Os planos , e , que são os eixos coordenados.
  • O plano , que é um plano inclinado.
  • A condição , que relaciona com e .
Visualizando isso, é um tetraedro limitado pelos planos mencionados. Vamos identificar os limites de integração para , e .

Passo 3

Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites para cada variável:
  1. Para : Olhando para a condição , o valor de varia de 0 a 1.
  2. Para : Para cada valor de , varia de 0 a (derivado de ).
  3. Para : A condição nos dá que varia de 0 a .
Então, a integral para a massa fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Vamos expandir , então:
Substituindo :
  1. Simplificando a expressão:
    Calculando cada termo:
Somando tudo:
Multiplicando por :
  1. Integral em :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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