Determine
, sendo a função de distribuição acumulada da variável X dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar o valor esperado $ E(X) $ de uma variável aleatória $ X $ cuja função de distribuição acumulada $ F(x) $ está dada. Isso significa que vamos calcular a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir, levando em conta suas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ F(x) $. A função de distribuição acumulada nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Observando a função dada:
Percebemos que $ F(x) $ tem saltos em $ x = -2, 0, 1 $ e $ 2 $. Isso indica que $ X $ é uma variável discreta, assumindo valores específicos nesses pontos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades de $ X $ assumir cada um desses valores. A probabilidade de $ X $ ser exatamente igual a um valor $ a $ é a diferença entre $ F(a) $ e o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ pela esquerda.
-
Para $ x = -2 $:
X -
Para $ x = 0 $:
X -
Para $ x = 1 $:
a -
Para $ x = 2 $:
F(a)
Passo 4
Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos: