Determine E(X), sendo a função de distribuição acumulada da variável X dada por:
F(x)=l 0, x<-2, 12,-2 <= x<0, 58, 0 <= x<1, 78, 1 <= x<2, 1, x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar o valor esperado $ E(X) $ de uma variável aleatória $ X $ cuja função de distribuição acumulada $ F(x) $ está dada. Isso significa que vamos calcular a média ponderada dos possíveis valores que $ X $ pode assumir, levando em conta suas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ F(x) $. A função de distribuição acumulada nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Observando a função dada:
F(x)
Percebemos que $ F(x) $ tem saltos em $ x = -2, 0, 1 $ e $ 2 $. Isso indica que $ X $ é uma variável discreta, assumindo valores específicos nesses pontos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades de $ X $ assumir cada um desses valores. A probabilidade de $ X $ ser exatamente igual a um valor $ a $ é a diferença entre $ F(a) $ e o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ pela esquerda.
  • Para $ x = -2 $:
    X
  • Para $ x = 0 $:
    X
  • Para $ x = 1 $:
    a
  • Para $ x = 2 $:
    F(a)

Passo 4

Com as probabilidades em mãos, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $ usando a fórmula:
E(X)
Substituindo os valores que encontramos:
E(X) = sum (xi cdot P(X = xi))

Resposta

E(X) = -0,5

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