Uma pesquisa foi conduzida para medir o número de horas que adultos nos EUA passam em frente ao computador todas as semanas. Na pesquisa, o número de horas era normalmente distribuído, com uma média de 7 horas e um desvio padrão de 1 hora. Um participante da pesquisa é escolhido aleatoriamente.
Encontre a probabilidade de esse participante passar mais de 10 horas por semana em frente ao computador.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma pesquisa que mediu quantas horas adultos nos EUA passam em frente ao computador por semana. Esses dados seguem uma distribuição normal, com média de 7 horas e desvio padrão de 1 hora. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de, ao escolhermos uma pessoa aleatoriamente, ela passar mais de 10 horas por semana no computador.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é uma forma de representar como os dados estão espalhados ao redor da média. No nosso caso, a média é 7 horas, e o desvio padrão é 1 hora. O desvio padrão nos diz o quanto os dados geralmente variam em relação à média.

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade de alguém passar mais de 10 horas por semana no computador, vamos usar o conceito de z-score. O z-score nos ajuda a ver quantos desvios padrões um valor está acima ou abaixo da média.
A fórmula para calcular o z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que queremos analisar (no nosso caso, 10 horas)
  • $ \mu $ é a média (7 horas)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (1 hora)

Passo 4

Vamos calcular o z-score:
z = 10 - 71 = 31 = 3
Então, o z-score é 3. Isso significa que 10 horas está 3 desvios padrões acima da média.

Passo 5

Com o z-score calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z > 3 $ na tabela da distribuição normal padrão. As tabelas geralmente mostram a probabilidade acumulada até um certo z.
Sabemos que:
z > 3
Isso significa que há aproximadamente 99,87% de chance de uma pessoa passar até 10 horas por semana no computador. Mas queremos a probabilidade de passar mais de 10 horas, então precisamos subtrair esse valor de 1:
P(Z < 3) approx 0,9987
P(Z > 3) = 1 - P(Z < 3)

Resposta

A probabilidade de um participante escolhido aleatoriamente passar mais de 10 horas por semana em frente ao computador é de aproximadamente 0,13%.

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