Seja X uma v.a. com densidade
Determine o valor da constante c .
Determine o valor da constante c .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade para uma variável aleatória $ X $, dada por:
O que precisamos encontrar aqui é o valor da constante $ c $. Para isso, vamos usar um conceito fundamental de probabilidades: a integral de uma função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja, a área total sob a curva da função de densidade precisa ser 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que a integral de $ f(x) $ de
a
deve ser igual a 1:
Aqui, estamos incorporando o fato de que fora desse intervalo
, a função de densidade é zero, então não precisamos considerar outras partes na integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{2} $ de
a
. A integral de $ x^{2} $ é uma função básica, e sabemos que:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar aqui porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 4
Aplicando os limites de integração, temos:
Então, a integral de $ x^{2} $ de
a
é igual a $ \frac{2}{3} $.
Passo 5
Voltando à nossa equação inicial:
Agora, basta resolver para $ c $:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.