Seja X uma v.a. com densidade
f(x)= c x^2, & -1 <= x <= 1 0, & cc
Determine o valor da constante c .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade para uma variável aleatória $ X $, dada por:
X á
O que precisamos encontrar aqui é o valor da constante $ c $. Para isso, vamos usar um conceito fundamental de probabilidades: a integral de uma função de densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja, a área total sob a curva da função de densidade precisa ser 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que a integral de $ f(x) $ de f(x) a -1 deve ser igual a 1:
1
Aqui, estamos incorporando o fato de que fora desse intervalo integral-1^1 c x^2 , dx = 1 , a função de densidade é zero, então não precisamos considerar outras partes na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de $ x^{2} $ de x^2 a -1. A integral de $ x^{2} $ é uma função básica, e sabemos que:
1
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - ( -13 ) = 23
Então, a integral de $ x^{2} $ de x^2 a -1 é igual a $ \frac{2}{3} $.

Passo 5

Voltando à nossa equação inicial:
c times 23 = 1
Agora, basta resolver para $ c $:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{3}{2} $.

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