Determine y para que os pontos A(3,5) B(-3,8) C(4,y) sejam colineares

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de $ y $ de modo que os pontos $ A(3,5) $, $ B(-3,8) $ e $ C(4,y) $ estejam alinhados, ou seja, colineares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a inclinação (coeficiente angular) das retas que passam por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, lembra como determinar se três pontos estão na mesma reta? É simples: a inclinação da reta entre qualquer par de pontos deve ser a mesma. Vamos calcular a inclinação entre $ A $ e $ B $ e entre $ A $ e $ C $. Se forem iguais, os pontos são colineares.

Passo 3

A fórmula para calcular a inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)
Vamos aplicar essa fórmula para os pontos $ A $ e $ B $:
(x2, y2)

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação entre os pontos $ A $ e $ C $:
A

Passo 5

Como queremos que os pontos sejam colineares, as inclinações devem ser iguais:
mAB = mAC
Substituindo os valores que encontramos:
-12 = y - 5

Passo 6

Agora, é só resolver essa equação para $ y $:
y
y - 5 = -12
y = -12 + 5

Resposta

O valor de $ y $ que torna os pontos $ A(3,5) $, $ B(-3,8) $ e $ C(4,y) $ colineares é $ y = \frac{9}{2} $.

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