Obtenha a solução geral da equação u" - 4u’ + 5u = 0

Passo 1

Ok, então a gente tem a equação diferencial $ u’’ - 4u’ + 5u = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica substituindo $ u’’ $ por $ r^2 $, $ u’ $ por $ r $ e $ u $ por 1. Assim, temos:
u''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1
r = 4 pm raiz16 - 202
r = 4 pm raiz-42
r = 4 pm 2i2

Passo 4

As raízes são complexas, da forma $ \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $. Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
alpha pm beta i

Resposta

Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $, a solução geral é:
alpha

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