Obtenha a solução geral da equação u" - 4u’ + 5u = 0
Passo 1
Ok, então a gente tem a equação diferencial $ u’’ - 4u’ + 5u = 0 $. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica substituindo $ u’’ $ por $ r^2 $, $ u’ $ por $ r $ e $ u $ por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
As raízes são complexas, da forma $ \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = 2 $ e $ \beta = 1 $. Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $, a solução geral é: