Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule a derivada abaixo: f ( x ) = x 2 e x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x2}{ex} $. Aqui estamos lidando com derivadas, mais especificamente com uma divisão de funções, então vamos usar a Regra do Quociente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. No caso de uma função que é o quociente de duas outras funções, usamos a Regra do Quociente para encontrar a derivada.
Passo 3
A Regra do Quociente diz que se temos uma função $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
Onde:
- $ u(x) $ é o numerador,
- $ v(x) $ é o denominador,
- $ u’(x) $ é a derivada de $ u(x) $,
- $ v’(x) $ é a derivada de $ v(x) $.
Passo 4
No nosso caso, $ u(x) = x^2 $ e $ v(x) = e^x $. Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 5
Calculando $ u’(x) $:
Passo 6
Calculando $ v’(x) $:
A derivada de $ e^x $ é $ e^x $ mesmo, uma propriedade interessante dessa função exponencial.
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Passo 9
E o denominador:
Passo 10
Agora, temos:
Podemos simplificar dividindo $ e^x $ por $ e^{2x} $, o que dá $ e^{-x} $.
Passo 11
Então, a derivada simplificada fica:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{x2}{ex} $ é: