Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule a derivada abaixo: f ( x ) = x 2 e x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x2}{ex} $. Aqui estamos lidando com derivadas, mais especificamente com uma divisão de funções, então vamos usar a Regra do Quociente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. No caso de uma função que é o quociente de duas outras funções, usamos a Regra do Quociente para encontrar a derivada.

Passo 3

A Regra do Quociente diz que se temos uma função $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = u(x)v(x)
Onde:
  • $ u(x) $ é o numerador,
  • $ v(x) $ é o denominador,
  • $ u’(x) $ é a derivada de $ u(x) $,
  • $ v’(x) $ é a derivada de $ v(x) $.

Passo 4

No nosso caso, $ u(x) = x^2 $ e $ v(x) = e^x $. Então, precisamos encontrar $ u’(x) $ e $ v’(x) $.

Passo 5

Calculando $ u’(x) $:
u'(x)

Passo 6

Calculando $ v’(x) $:
v'(x)
A derivada de $ e^x $ é $ e^x $ mesmo, uma propriedade interessante dessa função exponencial.

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = 2x cdot e^x - x^2 cdot e^x(e^x)^2

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
2x cdot e^x - x^2 cdot e^x = e^x (2x - x^2)

Passo 9

E o denominador:
(e^x)^2 = e^2x

Passo 10

Agora, temos:
f'(x) = e^x (2x - x^2)e^2x
Podemos simplificar dividindo $ e^x $ por $ e^{2x} $, o que dá $ e^{-x} $.

Passo 11

Então, a derivada simplificada fica:
f'(x) = e^-x (2x - x^2) = 2x - x^2e^x

Resposta

A derivada de $ f(x) = \frac{x2}{ex} $ é:
f(x) = x^2e^x

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