O ponto C(-3, -2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um ponto C(-3, -2) que é o centro de uma elipse. Essa elipse é tangente aos eixos coordenados, ou seja, ela toca os eixos x e y em apenas um ponto cada. Além disso, os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação geral de uma elipse e como os parâmetros dessa equação se relacionam com o centro e os eixos da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de uma elipse com centro no ponto (h, k) e eixos paralelos aos eixos coordenados. A equação é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, ‘a’ é o semi-eixo maior e ‘b’ é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 3

Sabemos que o centro da elipse é C(-3, -2), então h = -3 e k = -2. Substituindo esses valores na equação, temos:
(x + 3)^2a^2 + (y + 2)^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, a questão diz que a elipse é tangente aos eixos coordenados. Isso significa que a elipse toca o eixo x e o eixo y em exatamente um ponto cada. Vamos analisar isso.
Quando a elipse é tangente ao eixo x, isso ocorre quando y = 0 e a equação tem exatamente uma solução para x. Da mesma forma, quando é tangente ao eixo y, x = 0 e a equação tem exatamente uma solução para y.

Passo 5

Vamos encontrar onde a elipse toca o eixo x. Colocando y = 0 na equação:
(x + 3)^2a^2 + (0 + 2)^2b^2 = 1 Rightarrow (x + 3)^2a^2 + 4b^2 = 1
Para ter exatamente uma solução, o termo 4b^2 deve satisfazer:
(x + 3)^2a^2 = 1 - 4b^2
Isso só ocorre se 1 - 4b^2 = 0, ou seja, 4b^2 = 1, então b^2 = 4 e b = 2.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o eixo y, colocando x = 0 na equação:
(0 + 3)^2a^2 + (y + 2)^2b^2 = 1 Rightarrow 9a^2 + (y + 2)^24 = 1
Para ter exatamente uma solução, o termo 9a^2 deve satisfazer:
(y + 2)^24 = 1 - 9a^2
Igualando a 0 para ter uma única solução:
1 - 9a^2 = 0 Rightarrow 9a^2 = 1 Rightarrow a^2 = 9 Rightarrow a = 3

Passo 7

Agora que encontramos a = 3 e b = 2, podemos substituir esses valores na equação da elipse:
(x + 3)^29 + (y + 2)^24 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 3)^29 + (y + 2)^24 = 1

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