O ponto C(-3, -2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um ponto C(-3, -2) que é o centro de uma elipse. Essa elipse é tangente aos eixos coordenados, ou seja, ela toca os eixos x e y em apenas um ponto cada. Além disso, os eixos de simetria da elipse são paralelos aos eixos coordenados. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação geral de uma elipse e como os parâmetros dessa equação se relacionam com o centro e os eixos da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de uma elipse com centro no ponto (h, k) e eixos paralelos aos eixos coordenados. A equação é:
Aqui, ‘a’ é o semi-eixo maior e ‘b’ é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 3
Sabemos que o centro da elipse é C(-3, -2), então h = -3 e k = -2. Substituindo esses valores na equação, temos:
Passo 4
Agora, a questão diz que a elipse é tangente aos eixos coordenados. Isso significa que a elipse toca o eixo x e o eixo y em exatamente um ponto cada. Vamos analisar isso.
Quando a elipse é tangente ao eixo x, isso ocorre quando y = 0 e a equação tem exatamente uma solução para x. Da mesma forma, quando é tangente ao eixo y, x = 0 e a equação tem exatamente uma solução para y.
Passo 5
Vamos encontrar onde a elipse toca o eixo x. Colocando y = 0 na equação:
Para ter exatamente uma solução, o termo
deve satisfazer:
Isso só ocorre se
, ou seja,
, então
e
.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o eixo y, colocando x = 0 na equação:
Para ter exatamente uma solução, o termo
deve satisfazer:
Igualando a 0 para ter uma única solução:
Passo 7
Agora que encontramos a = 3 e b = 2, podemos substituir esses valores na equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: