Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=0^infty 1n^2+6 n+13

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que é assim:
sumn=0^infty 1n^2 + 6n + 13
O conteúdo aqui é sobre convergência de séries. Basicamente, queremos saber se essa série some para um número finito ou não. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar a nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a análise. Observe que:
n^2 + 6n + 13 = n^2 + 6n + 9 + 4 = (n + 3)^2 + 4
Então, nossa série fica:
sumn=0^infty 1(n + 3)^2 + 4
Mas, para facilitar a comparação, vamos notar que:
(n + 3)^2 + 4 >= n^2 + 6n + 9 = (n + 3)^2
Então:
1(n + 3)^2 + 4 <= 1(n + 3)^2

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 1n^2 conver>= , que é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se . Então:
Como nossa série original é menor ou igual a essa série que a gente sabe que converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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