Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
sumn=0^infty(52^n-13^n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série geométrica . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos separar a série original em duas partes:
sumn=0^infty(52^n-13^n) = sumn=0^infty52^n - sumn=0^infty13^n
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Primeiro, calculamos S = a1 - r . Isso é uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo S1 = 51 - 12 = 512 = 10
  • A razão comum
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular S2 = 11 - 13 = 123 = 32 . Essa também é uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo
  • A razão comum
Usando a mesma fórmula:

Resposta

Finalmente, subtraímos a segunda soma da primeira:
S = S1 - S2 = 10 - 32 = 202 - 32 = 172
Portanto, a soma da série geométrica dada é .

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