Determinse se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de análise de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender como comparar essa série com outras que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Vamos simplificar esse termo pra facilitar a comparação. Podemos reescrever assim:
Quando
fica bem grande,
vira bem pequeno, então
fica aproximadamente 1. Além disso,
é quase igual a
para grandes valores de
. Então, o termo geral fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste de Comparação. A gente sabe que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série
converge.
Como nosso termo geral
é menor ou igual a
para
grande, e a série de comparação converge, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Considere
e
. Encontre
.
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Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.