Determinse se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca termina. A questão pede pra gente descobrir se essa série converge (ou seja, se ela chega a um valor definido) ou diverge (se não chega a nenhum valor definido). A matéria envolvida aqui é Séries e Sequências, e pra resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos elevados a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pro termo geral da série, que é
. A gente precisa entender como esse termo se comporta quando
cresce muito, ou seja, quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar a análise. Observamos que, quando
é muito grande, os termos
vão dominar os termos constantes. Então:
Isso quer dizer que, para valores grandes de
, a expressão dentro da potência se aproxima de
.
Passo 4
Agora, aplicando o Teste da Raiz, que diz que se
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite:
Como vimos no Passo 3, esse limite é
.
Passo 5
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge.
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Considere
e
. Encontre
.
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Classfique as éries como convergente ou divergente.