Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=0^infty(n^2+12 n^2+1)^n

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita, que é tipo uma soma que nunca termina. A questão pede pra gente descobrir se essa série converge (ou seja, se ela chega a um valor definido) ou diverge (se não chega a nenhum valor definido). A matéria envolvida aqui é Séries e Sequências, e pra resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos elevados a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pro termo geral da série, que é . A gente precisa entender como esse termo se comporta quando cresce muito, ou seja, quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da potência para facilitar a análise. Observamos que, quando n^2 + 12n^2 + 1 approx n^22n^2 = 12 é muito grande, os termos vão dominar os termos constantes. Então:
Isso quer dizer que, para valores grandes de , a expressão dentro da potência se aproxima de .

Passo 4

Agora, aplicando o Teste da Raiz, que diz que se L = limn to infty raiz[n](n^2+12n^2+1)^n = limn to infty n^2+12n^2+1 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite:
Como vimos no Passo 3, esse limite é .

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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