Classfique as éries como convergente ou divergente.
sumn=1^infty n+1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série sumn=1^infty n+1n é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência, que é um dos primeiros passos pra analisar esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. O termo geral é n+1n. Vamos dividir o numerador pelos termos:
n+1n = nn + 1n = 1 + 1n
Então, a série fica assim:
sumn=1^infty (1 + 1n)

Passo 3

Agora, observamos que a série pode ser separada em duas séries:
sumn=1^infty 1 + sumn=1^infty 1n
A primeira parte, sumn=1^infty 1, é uma série onde cada termo é 1 somado infinitas vezes, o que claramente cresce sem limite. A segunda parte, sumn=1^infty 1n, é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 4

Além disso, aplicando o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não é zero, a série diverge. Vamos calcular o limite do termo geral:
limn to infty n+1n = limn to infty (1 + 1n) = 1 + 0 = 1
Como o limite é 1 (não zero), a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+1n é divergente.

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