Classfique as éries como convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência, que é um dos primeiros passos pra analisar esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. O termo geral é
. Vamos dividir o numerador pelos termos:
Então, a série fica assim:
Passo 3
Agora, observamos que a série pode ser separada em duas séries:
A primeira parte,
, é uma série onde cada termo é 1 somado infinitas vezes, o que claramente cresce sem limite. A segunda parte,
, é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 4
Além disso, aplicando o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não é zero, a série diverge. Vamos calcular o limite do termo geral:
Como o limite é 1 (não zero), a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Determinse se a série é convergente ou divergente
Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
Mostre que
.