Calcule: integral[tg(x)+cotg(x)]^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso envolve cálculo integral, especificamente trabalhando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos expandir a expressão, simplificar usando identidades trigonométricas e então integrar termo por termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma:
[tan(x) + cot(x)]^2 = tan^2(x) + 2tan(x)cot(x) + cot^2(x)

Passo 3

Agora, identificamos que tan^2(x) + 2tan(x)cot(x) + cot^2(x) = tan^2(x) + 2 + cot^2(x) , porque e . Então:

Passo 4

Vamos lembrar das identidades trigonométricas para tan^2(x) = sec^2(x) - 1 e cot^2(x) = csc^2(x) - 1 :
tan^2(x) + 2 + cot^2(x) = (sec^2(x) - 1) + 2 + (csc^2(x) - 1)
Substituindo na expressão:

Passo 5

Simplificando a expressão:
(sec^2(x) - 1) + 2 + (csc^2(x) - 1) = sec^2(x) + csc^2(x) - 1 - 1 + 2 = sec^2(x) + csc^2(x)

Passo 6

Agora, vamos integrar termo por termo:
integral [sec^2(x) + csc^2(x)] , dx = integral sec^2(x) , dx + integral csc^2(x) , dx

Passo 7

Sabemos que:
integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C
integral csc^2(x) , dx = -cot(x) + C
Então, juntando as duas integrais:
integral sec^2(x) , dx + integral csc^2(x) , dx = tan(x) - cot(x) + C

Resposta

A integral de tan(x) - cot(x) + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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