Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio padrão é 10 para que a diferença da média amostral para a média da população, em valor absoluto, seja menor que 1, com coeficiente de confiança igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para descobrir qual o tamanho de uma amostra necessária para que a diferença entre a média da amostra e a média da população seja menor que 1, com 95% de confiança. Isso envolve conceitos de Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança e Desvio Padrão. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o tamanho da amostra usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o desvio padrão da população é 10. O desvio padrão da média amostral, que chamamos de Erro Padrão, é calculado pela fórmula:
Onde:
-
é o desvio padrão da população (10) -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Passo 3
Queremos que a diferença entre a média da amostra e a média da população seja menor que 1 com 95% de confiança. Isso significa que nosso intervalo de confiança terá uma margem de erro de 1. A fórmula para a margem de erro (E) em um intervalo de confiança é:
Onde
é o valor z correspondente ao nível de confiança de 95%. Para 95% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula da margem de erro:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Primeiro, isolamos
:
Passo 6
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 7
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho da amostra necessária é 385.