Num estudo prévio conclui-se que a força compressiva de um cubo (MPa) dum tipo de concreto é normalmente distribuída. Foi tomada a seguinte amostra dessa população:
rllcr 112,3 & 97,0 & 92,7 & 86,0 & 102,0 99,2 & 95,8 & 103,5 & 89,0 & 86,7
Uma empresa de construção usará esse tipo de concreto a menos que existam fortes evidências de que a resistência média verdadeira do concreto seja menor do que 100 MPa . Realize um teste de hipótese adequado para esse problema, com um nível de significância 10 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde precisamos testar se a resistência média do concreto é menor que 100 MPa. A gente vai usar um teste de hipótese com nível de significância de 10%. Para isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão da amostra, e depois aplicar o teste t.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de observações.
Valores da amostra:
112,3; 97,0; 92,7; 86,0; 102,0; 99,2; 95,8; 103,5; 89,0; 86,7
Média (x̄) = (112,3 + 97,0 + 92,7 + 86,0 + 102,0 + 99,2 + 95,8 + 103,5 + 89,0 + 86,7) / 10 = 95,72 MPa

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, achamos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Variância (s²) = [(112,3 - 95,72)² + (97,0 - 95,72)² + … + (86,7 - 95,72)²] / (10 - 1) = 105,55
Desvio padrão (s) = √105,55 ≈ 10,28 MPa

Passo 4

Vamos formular as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula (H₀): μ ≥ 100 MPa (a resistência média é pelo menos 100 MPa)
  • Hipótese alternativa (H₁): μ < 100 MPa (a resistência média é menor que 100 MPa)

Passo 5

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx = 95,72
  • mu0 = 100
  • s = 10,28
  • n = 10
Substituindo:
t = 95,72 - 10010,28 / raiz10 = -4,283,25 ≈ -1,32

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste unilateral com nível de significância de 10% e 9 graus de liberdade (n-1). Consultando a tabela t de Student, o valor crítico é aproximadamente -1,383.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (-1,32) com o valor crítico (-1,383):
  • Se t calculado < t crítico, rejeitamos H₀
  • Caso contrário, não rejeitamos H₀
Aqui, -1,32 > -1,383, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que a resistência média verdadeira do concreto é menor que 100 MPa ao nível de significância de 10%.

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