Num estudo prévio conclui-se que a força compressiva de um cubo (MPa) dum tipo de concreto é normalmente distribuída. Foi tomada a seguinte amostra dessa população:
Uma empresa de construção usará esse tipo de concreto a menos que existam fortes evidências de que a resistência média verdadeira do concreto seja menor do que 100 MPa . Realize um teste de hipótese adequado para esse problema, com um nível de significância
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde precisamos testar se a resistência média do concreto é menor que 100 MPa. A gente vai usar um teste de hipótese com nível de significância de 10%. Para isso, vamos precisar calcular a média e o desvio padrão da amostra, e depois aplicar o teste t.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de observações.
Valores da amostra:
112,3; 97,0; 92,7; 86,0; 102,0; 99,2; 95,8; 103,5; 89,0; 86,7
112,3; 97,0; 92,7; 86,0; 102,0; 99,2; 95,8; 103,5; 89,0; 86,7
Média (x̄) = (112,3 + 97,0 + 92,7 + 86,0 + 102,0 + 99,2 + 95,8 + 103,5 + 89,0 + 86,7) / 10 = 95,72 MPa
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. Primeiro, achamos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média.
Variância (s²) = [(112,3 - 95,72)² + (97,0 - 95,72)² + … + (86,7 - 95,72)²] / (10 - 1) = 105,55
Desvio padrão (s) = √105,55 ≈ 10,28 MPa
Passo 4
Vamos formular as hipóteses do teste:
- Hipótese nula (H₀): μ ≥ 100 MPa (a resistência média é pelo menos 100 MPa)
- Hipótese alternativa (H₁): μ < 100 MPa (a resistência média é menor que 100 MPa)
Passo 5
Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Onde:
Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste unilateral com nível de significância de 10% e 9 graus de liberdade (n-1). Consultando a tabela t de Student, o valor crítico é aproximadamente -1,383.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t (-1,32) com o valor crítico (-1,383):
- Se t calculado < t crítico, rejeitamos H₀
- Caso contrário, não rejeitamos H₀
Aqui, -1,32 > -1,383, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidências suficientes para concluir que a resistência média verdadeira do concreto é menor que 100 MPa ao nível de significância de 10%.