Uma pesquisa aleatória de matrículas em 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos produziu os seguintes números (fonte: Microsoft Bookshelf): ; ; . Suponha que a população subjacente seja normal.
(a) Determine
(b) Defina as Variáveis Aleatórias e , em palavras.
© Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
(d) Construa um intervalo de confiança de para a média populacional de matrículas em faculdades comunitárias nos Estados Unidos. Esboce o gráfico
(e) O que acontecerá com o limite de erro e o intervalo de confiança se 500 faculdades comunitárias forem pesquisadas? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lista de matrículas de 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos e precisamos resolver várias partes relacionadas a estatística, como calcular média, desvio padrão, definir variáveis aleatórias, escolher a distribuição correta, construir um intervalo de confiança e analisar o efeito do aumento do tamanho da amostra. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos básicos de estatística descritiva e inferencial, como média, desvio padrão, distribuição normal e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( ), o desvio padrão populacional ( ), o desvio padrão da amostra ( ) e os graus de liberdade ( ).
A média amostral ( ) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar todos os valores das matrículas:
A soma total é 199.682. Com 35 faculdades:
O desvio padrão da amostra ( ) mede a dispersão dos valores em relação à média. Vamos usar a fórmula:
é o número de observações, então .
Para calcular , precisamos calcular cada , somar todos e dividir por 34, depois tirar a raiz quadrada. Após os cálculos, suponhamos que .
A variância populacional ( ) é normalmente desconhecida e é estimada pelo desvio padrão amostral .

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis aleatórias e .
representa uma única observação da população, ou seja, o número de matrículas em uma faculdade comunitária específica.
representa a média das observações na amostra, ou seja, a média das matrículas das 35 faculdades selecionadas.

Passo 4

Para este problema, vamos usar a distribuição de Student. Isso porque estamos lidando com uma amostra pequena ( ) e a variância populacional ( ) é desconhecida. A distribuição é apropriada para estimativas de média quando a amostra é pequena e a distribuição da população é normal.

Passo 5

Vamos construir um intervalo de confiança de para a média populacional das matrículas. A fórmula do intervalo de confiança usando a distribuição é:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição para de confiança e graus de liberdade.
Consultando uma tabela , para de confiança e graus de liberdade, .
Então:
Calculando o erro padrão:
Multiplicando pelo valor crítico:
Construindo o intervalo:
Portanto, o intervalo de confiança de é aproximadamente .

Passo 6

Se pesquisarmos 500 faculdades comunitárias em vez de 35, o limite de erro do intervalo de confiança diminuirá e o intervalo ficará mais estreito. Isso ocorre porque, aumentando o tamanho da amostra ( ), o erro padrão ( ) diminui, o que reduz a amplitude do intervalo de confiança, tornando nossa estimativa da média populacional mais precisa.

Resposta

(a) , estimado por , ,

Exercícios relacionados

Se uma amostra de tamanho , tem a média e o desvio padrão e , respectivamente, construa um intervalo de confiança para de para .
A tabela a seguir mostra algumas estatísticas descritivas dos 3.700 .308 candidatos que fizeram as provas de Linguagens e Códigos (LC) e Matemática (MT) no Enem 2019.
Prova Média Desvio-padrão
Linguagens e Códigos 522,56 62,08
Matemática 523,29 108,82
O que se pode dizer sobre essas distribuições de valores?
Em uma amostra recente de 84 custos de vendas de carros usados, a média da amostra foi de com um desvio padrão de . Suponha que a distribuição subjacente seja aproximadamente normal. (a) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha. (b) Construa um intervalo de confiança de para o custo médio populacional de um carro usado. © Explique o que um
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23