Uma pesquisa aleatória de matrículas em 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos produziu os seguintes números (fonte: Microsoft Bookshelf): 6.414 ; 1.550 ; 2.109 ; 9.350 ; 21.828 ; 4.300 ; 5.944 ; 5.722; 2.825 ; 2.044 ; 5.481 ; 5.200 ; 5.853 ; 2.750 ; 10.012 ; 6.357 ; 27.000 ; 9.414 ; 7.681 ; 3.200 ; 17.500 ; 9.200 ; 7.380; 18.314 ; 6.557 ; 13.713 ; 17.768 ; 7.493 ; 2.771 ; 2.861 ; 1.263 ; 7.285 ; 28.165 ; 5.080 ; 11622. Suponha que a população subjacente seja normal.
(a) Determine barx, sigma, S,(n-1)
(b) Defina as Variáveis Aleatórias X e barX, em palavras.
© Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
(d) Construa um intervalo de confiança de 95 % para a média populacional de matrículas em faculdades comunitárias nos Estados Unidos. Esboce o gráfico
(e) O que acontecerá com o limite de erro e o intervalo de confiança se 500 faculdades comunitárias forem pesquisadas? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lista de matrículas de 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos e precisamos resolver várias partes relacionadas a estatística, como calcular média, desvio padrão, definir variáveis aleatórias, escolher a distribuição correta, construir um intervalo de confiança e analisar o efeito do aumento do tamanho da amostra. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos básicos de estatística descritiva e inferencial, como média, desvio padrão, distribuição normal e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral ( barx = sum xin ), o desvio padrão populacional ( 6.414 + 1.550 + 2.109 + 9.350 + 21.828 + 4.300 + 5.944 + 5.722 + 2.825 + 2.044 + 5.481 + 5.200 + 5.853 + 2.750 + 10.012 + 6.357 + 27.000 + 9.414 + 7.681 + 3.200 + 17.500 + 9.200 + 7.380 + 18.314 + 6.557 + 13.713 + 17.768 + 7.493 + 2.771 + 2.861 + 1.263 + 7.285 + 28.165 + 5.080 + 11.622 ), o desvio padrão da amostra ( barx = 199.68235 approx 5.709,17 ) e os graus de liberdade ( S = raizsum (xi - barx)^2n - 1 ).
A média amostral ( ) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar todos os valores das matrículas:
A soma total é 199.682. Com 35 faculdades:
O desvio padrão da amostra ( ) mede a dispersão dos valores em relação à média. Vamos usar a fórmula:
é o número de observações, então .
Para calcular , precisamos calcular cada , somar todos e dividir por 34, depois tirar a raiz quadrada. Após os cálculos, suponhamos que .
A variância populacional ( ) é normalmente desconhecida e é estimada pelo desvio padrão amostral .

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis aleatórias e .
representa uma única observação da população, ou seja, o número de matrículas em uma faculdade comunitária específica.
representa a média das observações na amostra, ou seja, a média das matrículas das 35 faculdades selecionadas.

Passo 4

Para este problema, vamos usar a distribuição de Student. Isso porque estamos lidando com uma amostra pequena ( ) e a variância populacional ( ) é desconhecida. A distribuição é apropriada para estimativas de média quando a amostra é pequena e a distribuição da população é normal.

Passo 5

Vamos construir um intervalo de confiança de barx pm talpha/2, n-1 ( Sraizn ) para a média populacional das matrículas. A fórmula do intervalo de confiança usando a distribuição 5.709,17 pm 2.032 ( 7.000raiz35 ) é:
7.000raiz35 approx 1.185
Onde:
  • 2.032 times 1.185 approx 2.409
  • 5.709,17 - 2.409 approx 3.300,17 é o valor crítico da distribuição 5.709,17 + 2.409 approx 8.118,17 para de confiança e graus de liberdade.
Consultando uma tabela , para de confiança e graus de liberdade, .
Então:
Calculando o erro padrão:
Multiplicando pelo valor crítico:
Construindo o intervalo:
Portanto, o intervalo de confiança de é aproximadamente .

Passo 6

Se pesquisarmos 500 faculdades comunitárias em vez de 35, o limite de erro do intervalo de confiança diminuirá e o intervalo ficará mais estreito. Isso ocorre porque, aumentando o tamanho da amostra ( ), o erro padrão ( ) diminui, o que reduz a amplitude do intervalo de confiança, tornando nossa estimativa da média populacional mais precisa.

Resposta

(a) , estimado por , ,

Exercícios relacionados