Uma pesquisa aleatória de matrículas em 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos produziu os seguintes números (fonte: Microsoft Bookshelf):
;
;
. Suponha que a população subjacente seja normal.
(a) Determine
(b) Defina as Variáveis Aleatórias
e
, em palavras.
© Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
(d) Construa um intervalo de confiança de
para a média populacional de matrículas em faculdades comunitárias nos Estados Unidos. Esboce o gráfico
(e) O que acontecerá com o limite de erro e o intervalo de confiança se 500 faculdades comunitárias forem pesquisadas? Por quê?
(a) Determine
(b) Defina as Variáveis Aleatórias
© Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha.
(d) Construa um intervalo de confiança de
(e) O que acontecerá com o limite de erro e o intervalo de confiança se 500 faculdades comunitárias forem pesquisadas? Por quê?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lista de matrículas de 35 faculdades comunitárias nos Estados Unidos e precisamos resolver várias partes relacionadas a estatística, como calcular média, desvio padrão, definir variáveis aleatórias, escolher a distribuição correta, construir um intervalo de confiança e analisar o efeito do aumento do tamanho da amostra. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos básicos de estatística descritiva e inferencial, como média, desvio padrão, distribuição normal e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral (
), o desvio padrão populacional (
), o desvio padrão da amostra (
) e os graus de liberdade (
).
A média amostral (
) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Vamos somar todos os valores das matrículas:
A soma total é 199.682. Com 35 faculdades:
O desvio padrão da amostra (
) mede a dispersão dos valores em relação à média. Vamos usar a fórmula:
Para calcular
, precisamos calcular cada
, somar todos e dividir por 34, depois tirar a raiz quadrada. Após os cálculos, suponhamos que
.
A variância populacional (
) é normalmente desconhecida e é estimada pelo desvio padrão amostral
.
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis aleatórias
e
.
Passo 4
Para este problema, vamos usar a distribuição
de Student. Isso porque estamos lidando com uma amostra pequena (
) e a variância populacional (
) é desconhecida. A distribuição
é apropriada para estimativas de média quando a amostra é pequena e a distribuição da população é normal.
Passo 5
Vamos construir um intervalo de confiança de
para a média populacional das matrículas. A fórmula do intervalo de confiança usando a distribuição
é:
Onde:
-
-
é o valor crítico da distribuição para de confiança e graus de liberdade. -
-
Consultando uma tabela
, para
de confiança e
graus de liberdade,
.
Então:
Calculando o erro padrão:
Multiplicando pelo valor crítico:
Construindo o intervalo:
Portanto, o intervalo de confiança de
é aproximadamente
.
Passo 6
Se pesquisarmos 500 faculdades comunitárias em vez de 35, o limite de erro do intervalo de confiança diminuirá e o intervalo ficará mais estreito. Isso ocorre porque, aumentando o tamanho da amostra (
), o erro padrão (
) diminui, o que reduz a amplitude do intervalo de confiança, tornando nossa estimativa da média populacional mais precisa.
Resposta
(a)
,
estimado por
,
,
Exercícios relacionados
Se uma amostra de tamanho
, tem a média e o desvio padrão
e
, respectivamente, construa um intervalo de confiança para de
para
.
A tabela a seguir mostra algumas estatísticas descritivas dos 3.700 .308 candidatos que fizeram as provas de Linguagens e Códigos (LC) e Matemática (MT) no Enem 2019.
Prova | Média | Desvio-padrão |
---|---|---|
Linguagens e Códigos | 522,56 | 62,08 |
Matemática | 523,29 | 108,82 |
O que se pode dizer sobre essas distribuições de valores?
Em uma amostra recente de 84 custos de vendas de carros usados, a média da amostra foi de
com um desvio padrão de
. Suponha que a distribuição subjacente seja aproximadamente normal. (a) Qual distribuição você deve usar para este problema? Explique sua escolha. (b) Construa um intervalo de confiança de
para o custo médio populacional de um carro usado. © Explique o que um
Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com
de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23