Qual deve ser o valor de k de modo que o ponto P (1, 0) pertença ao interior da circunferência cuja equação é x2 + y2 – 2x – 2y – k = 0?
a) k = –2
b) k > –1
c) k < 1
d) k > 3 e) k = 5
a) k = –2
b) k > –1
c) k < 1
d) k > 3 e) k = 5
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar o valor de $ k $ para que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro de uma circunferência dada pela equação $ x^2 + y^2 - 2x - 2y - k = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo circunferências, como encontrar o centro e o raio, e verificar se o ponto está dentro dessa circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão, que é $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, onde $ (h, k) $ é o centro da circunferência e $ r $ é o raio. Para isso, completamos o quadrado nos termos de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Agora, completamos o quadrado para $ x $ e para $ y $.
Passo 4
Para o termo de $ x $:
Para o termo de $ y $:
Passo 5
Substituímos de volta na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência. A forma padrão é $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, então:
- Centro $ C(1, 1) $
- Raio $ r = \sqrt{k + 2} $
Passo 7
Queremos que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro da circunferência. Isso significa que a distância entre $ P $ e o centro $ C $ deve ser menor que o raio.
Passo 8
Calculamos a distância entre $ P(1, 0) $ e $ C(1, 1) $:
Passo 9
A condição para o ponto estar dentro é:
Passo 10
Vamos resolver a desigualdade:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Resposta
A condição para que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro da circunferência é $ k > -1 $. Portanto, a resposta correta é a opção b) k > –1.