Qual deve ser o valor de k de modo que o ponto P (1, 0) pertença ao interior da circunferência cuja equação é x2 + y2 – 2x – 2y – k = 0?
a) k = –2
b) k > –1
c) k < 1
d) k > 3 e) k = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar o valor de $ k $ para que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro de uma circunferência dada pela equação $ x^2 + y^2 - 2x - 2y - k = 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria envolvendo circunferências, como encontrar o centro e o raio, e verificar se o ponto está dentro dessa circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão, que é $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, onde $ (h, k) $ é o centro da circunferência e $ r $ é o raio. Para isso, completamos o quadrado nos termos de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = k
Agora, completamos o quadrado para $ x $ e para $ y $.

Passo 4

Para o termo de $ x $:
x
Para o termo de $ y $:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1

Passo 5

Substituímos de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = k
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 = k
Então:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = k + 2

Passo 6

Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência. A forma padrão é $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $, então:
  • Centro $ C(1, 1) $
  • Raio $ r = \sqrt{k + 2} $

Passo 7

Queremos que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro da circunferência. Isso significa que a distância entre $ P $ e o centro $ C $ deve ser menor que o raio.

Passo 8

Calculamos a distância entre $ P(1, 0) $ e $ C(1, 1) $:
P(1, 0)

Passo 9

A condição para o ponto estar dentro é:
d < r implies 1 < raizk + 2

Passo 10

Vamos resolver a desigualdade:
1 < raizk + 2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
1 < k + 2
Subtraindo 2 de ambos os lados:
-1 < k

Resposta

A condição para que o ponto $ P(1, 0) $ esteja dentro da circunferência é $ k > -1 $. Portanto, a resposta correta é a opção b) k > –1.

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