Uma urna com 20 bolas pretas e 10 brancas. Retiramos a bola, anotamos sua cor devolvemos ela para a urna. Repetimos esse procedimento até ver 4 bolas brancas.
(a) Qual modelo é adequado para o número de retiradas feitas até vermos 4 bolas brancas ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma urna com 20 bolas pretas e 10 brancas. A gente retira uma bola, anota a cor, coloca de volta na urna e repete esse processo até aparecer 4 bolas brancas. O conteúdo envolvido aqui é probabilidade, especificamente modelos que descrevem o número de tentativas necessárias para alcançar um certo número de sucessos. Para resolver, vamos precisar entender distribuições de probabilidade como a Binomial Negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que consideramos “sucesso” aqui. No nosso caso, um sucesso é tirar uma bola branca. A probabilidade de sucesso em cada retirada é a razão entre o número de bolas brancas e o total de bolas na urna. Então, temos:
p = 1020 + 10 = 1030 = 13
E a probabilidade de fracasso (tirar uma bola preta) é:
q = 1 - p = 1 - 13 = 23

Passo 3

Como estamos repetindo o processo até alcançar 4 sucessos (4 bolas brancas), e cada retirada é independente porque colocamos a bola de volta na urna, o modelo que descreve isso é a Distribuição Binomial Negativa. Essa distribuição nos dá a probabilidade de que o quarto sucesso ocorra na k-ésima tentativa.

Passo 4

Para generalizar, a Distribuição Binomial Negativa é usada quando queremos saber quantas tentativas são necessárias para alcançar um certo número de sucessos, com a probabilidade de sucesso sendo constante em cada tentativa. No nosso caso, queremos 4 sucessos (bolas brancas), então esse é o modelo adequado.

Resposta

O modelo adequado para o número de retiradas feitas até vermos 4 bolas brancas é a Distribuição Binomial Negativa.

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