Dizemos que uma variável aleatória
têm distribuição uniforme no intervalo
se,
Denotamos essa variável por
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre distribuição uniforme, que é um conceito da estatística e probabilidade. Em resumo, uma variável aleatória $ X $ tem distribuição uniforme no intervalo
quando todas as possíveis ocorrências nesse intervalo têm a mesma probabilidade. A gente vai calcular
, que é o valor esperado, e
, que é a variância dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre como calcular médias e variâncias de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado
. O valor esperado de uma variável contínua é basicamente a média ponderada de todos os valores possíveis que a variável pode assumir, ponderada pela função de densidade de probabilidade.
A fórmula para o valor esperado é:
Sabemos que para a distribuição uniforme $ f_X(x) = \frac{1}{b - a} $. Então, substituindo:
Agora, vamos resolver a integral
:
Substituindo de volta na equação do valor esperado:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância
. A variância mede o quanto os valores de $ X $ se espalham em torno do valor esperado. A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos encontrar
:
Resolvendo a integral
:
Então,
Agora, já sabemos que
. Vamos calcular
:
Finalmente, substituindo na fórmula da variância:
Simplificando:
Resposta
O valor esperado
é
e a variância
é
.