Dizemos que uma variável aleatória X têm distribuição uniforme no intervalo [a, b] se,
fX(x)=1b-a a
Denotamos essa variável por U(a, b)
Calcule E(X) e V(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre distribuição uniforme, que é um conceito da estatística e probabilidade. Em resumo, uma variável aleatória $ X $ tem distribuição uniforme no intervalo X quando todas as possíveis ocorrências nesse intervalo têm a mesma probabilidade. A gente vai calcular [a, b], que é o valor esperado, e E(X), que é a variância dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre como calcular médias e variâncias de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado E(X). O valor esperado de uma variável contínua é basicamente a média ponderada de todos os valores possíveis que a variável pode assumir, ponderada pela função de densidade de probabilidade.
A fórmula para o valor esperado é:
E(X) = integrala^b x cdot fX(x) , dx
Sabemos que para a distribuição uniforme $ f_X(x) = \frac{1}{b - a} $. Então, substituindo:
fX(x) = 1b - a
Agora, vamos resolver a integral E(X) = integrala^b x cdot 1b - a , dx = 1b - a integrala^b x , dx :
integrala^b x , dx
Substituindo de volta na equação do valor esperado:
integrala^b x , dx = [ x^22 ]a^b = b^22 - a^22 = b^2 - a^22

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância V(X). A variância mede o quanto os valores de $ X $ se espalham em torno do valor esperado. A fórmula para a variância é:
X
Primeiro, precisamos encontrar V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 :
E(X^2)
Resolvendo a integral E(X^2) = integrala^b x^2 cdot fX(x) , dx = 1b - a integrala^b x^2 , dx :
integrala^b x^2 , dx
Então,
integrala^b x^2 , dx = [ x^33 ]a^b = b^33 - a^33 = b^3 - a^33
Agora, já sabemos que E(X^2) = 1b - a cdot b^3 - a^33 = b^2 + a b + a^23 . Vamos calcular E(X) = a + b2:
[E(X)]^2
Finalmente, substituindo na fórmula da variância:
[E(X)]^2 = ( a + b2 )^2 = (a + b)^24 = a^2 + 2ab + b^24
Simplificando:
V(X) = b^2 + a b + a^23 - a^2 + 2ab + b^24 = 4(b^2 + a b + a^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)12

Resposta

O valor esperado E(X) é a + b2 e a variância V(X) é (b - a)^212.

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