Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998, a espaçonave Mars Climate Orbiter (com massa de 629 kg ) estava a 2,87 times 10^6 km da Terra e se deslocava a 1,20 times 10^4 km / h em relação à Terra. Neste instante, qual era a energia mecânica da espaçonave em relação à Terra? É positiva ou negativa? O que se pode concluir sobre o sinal da energia mecânica?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma espaçonave, a Mars Climate Orbiter, com massa de 629 kg, que está a uma distância de km da Terra e se move a uma velocidade de km/h em relação à Terra. Queremos descobrir qual é a energia mecânica dessa espaçonave em relação à Terra nesse instante. Além disso, precisamos determinar se essa energia é positiva ou negativa e o que isso significa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, que juntos compõem a energia mecânica de um objeto em um campo gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
  1. Energia Cinética (EC):
    EC = 12 m v^2
    Onde:
    • EP = -G M mr é a massa da espaçonave.
    • EM = EC + EP é a velocidade da espaçonave.
  2. Energia Potencial Gravitacional (EP):
    Onde:
    • é a constante gravitacional ( ).
    • é a massa da Terra ( ).
    • é a distância entre a espaçonave e o centro da Terra.
  3. Energia Mecânica (EM):
Agora, vamos calcular cada uma dessas energias passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Distância ( r = 2,87 times 10^6 , km = 2,87 times 10^6 times 10^3 , m = 2,87 times 10^9 , m ):
    v = 1,20 times 10^4 , km/h = 1,20 times 10^4 times 10^3 , m3600 , s approx 3,33 times 10^3 , m/s
  • Velocidade ( ):

Passo 4

Agora, calculamos a Energia Cinética (EC):
EC = 12 m v^2 = 12 times 629 , kg times (3,33 times 10^3 , m/s)^2
Calculando:
EC = 0,5 times 629 times 1,1089 times 10^7 approx 0,5 times 629 times 1,1089 times 10^7 approx 3,49 times 10^10 , J

Passo 5

Em seguida, calculamos a Energia Potencial Gravitacional (EP):
EP = -G M mr = -6,674 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2 times 5,972 times 10^24 , kg times 629 , kg2,87 times 10^9 , m
Calculando:
EP = -6,674 times 5,972 times 629 times 10^-11 +24 2,87 times 10^9 approx -2,506 times 10^152,87 times 10^9 approx -8,73 times 10^5 , J

Passo 6

Agora, somamos as duas energias para encontrar a Energia Mecânica (EM):
EM = EC + EP = 3,49 times 10^10 , J - 8,73 times 10^5 , J approx 3,49 times 10^10 , J
Observamos que a energia cinética é muito maior que a energia potencial, mas vamos analisar o sinal da energia total.

Passo 7

A Energia Mecânica total é positiva ( ). Isso indica que a espaçonave tem energia suficiente para escapar do campo gravitacional da Terra. Em outras palavras, a espaçonave não está mais ligada gravitacionalmente à Terra e pode escapar para o espaço interplanetário.

Resposta

A energia mecânica da espaçonave em relação à Terra nesse instante é aproximadamente e é positiva. Isso nos mostra que a espaçonave possui energia suficiente para escapar da atração gravitacional da Terra.

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