Em um dia de verão, a temperatura chega a um valor igual a 30 °C. Um tanque de aço contém petróleo até a boca, e esse conjunto estava sendo mantido a 15 °C. Coeficiente de dilatação linear do aço = 1,2 x 10-5 oC-1; Coeficiente de dilatação do petróleo = 1,0 x 10-4 oC-1. Quando o sistema atinge o equilíbrio térmico com o ambiente, qual a fração volumétrica de petróleo terá sido transbordada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque de aço cheio de petróleo a 15°C, e num dia de verão a temperatura sobe pra 30°C. Precisamos descobrir quanto de petróleo vai transbordar quando tudo aquece e atinge a mesma temperatura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica, tanto linear quanto volumétrica, para materiais sólidos e líquidos. Vamos precisar das fórmulas de dilatação térmica e entender como elas se aplicam ao aço (o tanque) e ao petróleo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura. A temperatura inicial é 15°C e sobe para 30°C, então:
Passo 3
Agora, vamos entender como a dilatação térmica funciona. Para materiais sólidos como o aço, a dilatação volumétrica é aproximadamente três vezes a dilatação linear. Para líquidos como o petróleo, usamos diretamente o coeficiente de dilatação volumétrica.
Passo 4
Vamos calcular a dilatação do tanque de aço. O coeficiente de dilatação linear do aço é $ \alpha_{aço} = 1,2 \times 10^{-5} , °C^{-1} $. A dilatação volumétrica $ \beta $ é:
Então, a variação volumétrica do tanque será:
Passo 5
Agora, vamos calcular a dilatação do petróleo. O coeficiente de dilatação volumétrica do petróleo é $ \beta_{petrol} = 1,0 \times 10^{-4} , °C^{-1} $. A variação volumétrica do petróleo será:
Passo 6
Como o tanque estava cheio até a boca, o volume inicial do petróleo $ V_{petrol} $ é igual ao volume do tanque $ V_{aço} $. Assim, podemos simplificar:
onde $ V $ é o volume do tanque.
Passo 7
Para encontrar quanto petróleo vai transbordar, subtraímos a dilatação do tanque da dilatação do petróleo:
Passo 8
A fração volumétrica transbordada é a relação entre o volume transbordado e o volume inicial do petróleo:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A fração volumétrica de petróleo que terá sido transbordada é de aproximadamente 0,096 %.