Uma pequena esfera de peso P= 5,0.10 ^-2 N, eletrizada com uma carga q=+0,20 µC, está suspensa por um fio isolante bastante leve, que na posição de equilíbrio forma um ângulo de 45 graus com um plano vertical uniformemente eletrizado com densidade superficial σ. Qual é o módulo da densidade superficial de cargas σ? Dado: permissividade absoluta do meio: ε = 8,85.10^ -12 (SI).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera pequena que pesa $ P = 5,0 \times 10^{-2} , N $ e está carregada com uma carga $ q = +0,20 , \muC $. Essa esfera está pendurada por um fio leve que, na posição de equilíbrio, forma um ângulo de 45 graus com a vertical. Além disso, há um plano uniformemente eletrizado com densidade superficial de carga $ \sigma $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ \sigma $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças na física e a relação entre campo elétrico e densidade de carga superficial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera:
- Força Gravitacional ($ \vec{P} $): Para baixo, com magnitude $ P = 5,0 \times 10^{-2} , N $.
- Força Elétrica ($ \vec{F_e} $): Devido ao campo elétrico criado pelo plano eletrizado, agindo horizontalmente.
- Tensão no Fio ($ \vec{T} $): Que tem componentes tanto na vertical quanto na horizontal devido ao ângulo de 45 graus.
Como a esfera está em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, vamos decompor a força de tensão em suas componentes vertical ($ T_y
T_x $).
Passo 3
Vamos relacionar as componentes das forças:
- Na direção vertical:
- Na direção horizontal:
Como o ângulo $ \theta $ é de 45 graus, sabemos que $ \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 4
Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
Como $ \theta = 45^\circ $, $ \tan(45^\circ) = 1 $. Então:
Passo 5
Agora, sabemos que a força elétrica $ F_e $ é dada por:
Onde $ E $ é o campo elétrico gerado pelo plano eletrizado. Então podemos encontrar $ E $:
Substituindo os valores:
Passo 6
Sabemos que o campo elétrico criado por um plano infinito carregado é:
Onde $ \varepsilon = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/(N \cdot m^2) $ é a permissividade do meio.
Rearranjando para encontrar $ \sigma $:
Substituindo os valores:
Resposta
O módulo da densidade superficial de cargas $ \sigma $ é $ 4,425 \times 10^{-6} , C/m^2 $.