Uma pequena esfera de peso P= 5,0.10 ^-2 N, eletrizada com uma carga q=+0,20 µC, está suspensa por um fio isolante bastante leve, que na posição de equilíbrio forma um ângulo de 45 graus com um plano vertical uniformemente eletrizado com densidade superficial σ. Qual é o módulo da densidade superficial de cargas σ? Dado: permissividade absoluta do meio: ε = 8,85.10^ -12 (SI).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera pequena que pesa $ P = 5,0 \times 10^{-2} , N $ e está carregada com uma carga $ q = +0,20 , \muC $. Essa esfera está pendurada por um fio leve que, na posição de equilíbrio, forma um ângulo de 45 graus com a vertical. Além disso, há um plano uniformemente eletrizado com densidade superficial de carga $ \sigma $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ \sigma $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças na física e a relação entre campo elétrico e densidade de carga superficial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera:
  1. Força Gravitacional ($ \vec{P} $): Para baixo, com magnitude $ P = 5,0 \times 10^{-2} , N $.
  2. Força Elétrica ($ \vec{F_e} $): Devido ao campo elétrico criado pelo plano eletrizado, agindo horizontalmente.
  3. Tensão no Fio ($ \vec{T} $): Que tem componentes tanto na vertical quanto na horizontal devido ao ângulo de 45 graus.
Como a esfera está em equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Então, vamos decompor a força de tensão em suas componentes vertical ($ T_y P T_x $).

Passo 3

Vamos relacionar as componentes das forças:
  • Na direção vertical: Ty = T cos(theta) = P
  • Na direção horizontal: Tx = T sin(theta) = Fe
Como o ângulo $ \theta $ é de 45 graus, sabemos que $ \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 4

Dividindo as duas equações para eliminar $ T $:
T
Como $ \theta = 45^\circ $, $ \tan(45^\circ) = 1 $. Então:
TxTy = FeP = sin(theta)cos(theta) = tan(theta)

Passo 5

Agora, sabemos que a força elétrica $ F_e $ é dada por:
Fe
Onde $ E $ é o campo elétrico gerado pelo plano eletrizado. Então podemos encontrar $ E $:
Fe = q E
Substituindo os valores:
E

Passo 6

Sabemos que o campo elétrico criado por um plano infinito carregado é:
E = sigma2 varepsilon
Onde $ \varepsilon = 8,85 \times 10^{-12} , C^2/(N \cdot m^2) $ é a permissividade do meio.
Rearranjando para encontrar $ \sigma $:
varepsilon = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)
Substituindo os valores:
sigma

Resposta

O módulo da densidade superficial de cargas $ \sigma $ é $ 4,425 \times 10^{-6} , C/m^2 $.

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