A equação de Clausius é , onde é uma constante. Mostre que o rendimento de um ciclo de Carnot é o mesmo que para um gás que obedece a equação de estado de um gás ideal, ou seja .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a equação de Clausius, que é dada por:
Aqui, é a pressão, é o volume, é a quantidade de matéria, é a constante dos gases e é a temperatura. A constante é específica dessa equação. O que a gente precisa mostrar é que o rendimento de um ciclo de Carnot para esse gás que segue a equação de Clausius é igual ao rendimento para um gás ideal, que tem a equação:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o ciclo de Carnot. É um modelo teórico de um motor térmico que opera entre duas temperaturas (quente) e (fria). A eficiência ( ) desse ciclo é a relação entre o trabalho realizado e o calor absorvido na fonte quente. A eficiência do ciclo de Carnot é dada por:
O legal é que essa fórmula é válida para qualquer gás, independente de como ele se comporta (ideal ou não). Nosso objetivo é mostrar que isso também vale para um gás que obedece à equação de Clausius.

Passo 3

Vamos entender que a eficiência do ciclo de Carnot depende apenas das temperaturas das duas fontes térmicas e não das propriedades específicas do gás. Ou seja, mesmo que o gás siga uma equação de estado diferente, como a de Clausius, a eficiência ainda será:
Isso porque o ciclo de Carnot é um ciclo reversível e maximiza a eficiência, sendo independente das características específicas do gás utilizado.

Passo 4

Agora, vamos ver por que a eficiência não depende da equação de estado. A eficiência é calculada pela diferença entre o calor absorvido ( ) na temperatura alta e o calor liberado ( ) na temperatura baixa:
No ciclo de Carnot, as transformações são isentrópicas (adiabáticas e reversíveis) e isotérmicas (temperatura constante). Essas propriedades asseguram que a razão dependa apenas das temperaturas e , e não de como o gás se comporta durante o ciclo.

Passo 5

Mesmo com a equação de Clausius:
Podemos rearranjar para:
Mas, durante o ciclo de Carnot, as relações entre as expansões e compressões do gás garantem que a eficiência depende só das temperaturas nas quais o ciclo opera. Portanto, a presença do termo não afeta a relação final da eficiência.

Passo 6

Concluindo, independentemente da equação de estado que o gás segue (seja a de gás ideal ou a de Clausius), a eficiência do ciclo de Carnot permanece a mesma porque depende apenas das temperaturas das fontes térmicas envolvidas.

Resposta

O rendimento de um ciclo de Carnot para um gás que obedece à equação de Clausius é igual ao rendimento para um gás ideal, isto é:

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