Diâmetro ( mm ) de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos de
e
são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são, respectivamente:
e
. Suponha que
e que os dados sejam retirados de uma população normal. Construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interpretar.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de dados sobre o diâmetro de bastões de aço fabricados por duas máquinas diferentes. Cada máquina teve uma amostra aleatória de tamanhos
e
. As médias das amostras são
mm e
mm, com variâncias
e
. A pergunta quer que a gente construa um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as médias dos diâmetros das duas máquinas e interprete esse intervalo. Para resolver, vamos usar estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a diferença entre duas médias, assumindo que as variâncias populacionais são iguais e que os dados seguem uma distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando queremos comparar duas médias e assumimos que as variâncias são iguais, usamos o intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias iguais. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
e
são as médias das amostras,
é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado, e
é o erro padrão combinado das duas amostras.
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão (
). Como as variâncias são iguais, usamos a variância combinada (
), que é uma média ponderada das variâncias das duas amostras:
Substituindo os valores:
Agora, o erro padrão combinado (
) é:
Passo 4
Agora precisamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança de 98%. O nível de significância
é
. Como é um intervalo de confiança bilateral, dividimos
por 2:
. Os graus de liberdade (df) são
.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Calculando a diferença das médias:
Calculando a margem de erro:
Portanto, o intervalo de confiança é:
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a diferença nas médias dos diâmetros dos bastões fabricados pelas duas máquinas é de aproximadamente
. Isso significa que estamos 98% confiantes de que a verdadeira diferença entre as médias está entre -0,482 mm e 0,582 mm. Como o intervalo inclui zero, não há evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa nas médias dos diâmetros dos bastões produzidos pelas duas máquinas.