Diâmetro ( mm ) de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos de e são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são, respectivamente: e . Suponha que e que os dados sejam retirados de uma população normal. Construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de dados sobre o diâmetro de bastões de aço fabricados por duas máquinas diferentes. Cada máquina teve uma amostra aleatória de tamanhos e . As médias das amostras são mm e mm, com variâncias e . A pergunta quer que a gente construa um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as médias dos diâmetros das duas máquinas e interprete esse intervalo. Para resolver, vamos usar estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a diferença entre duas médias, assumindo que as variâncias populacionais são iguais e que os dados seguem uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando queremos comparar duas médias e assumimos que as variâncias são iguais, usamos o intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias iguais. A fórmula geral para isso é:
Aqui, e são as médias das amostras, é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado, e é o erro padrão combinado das duas amostras.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão ( ). Como as variâncias são iguais, usamos a variância combinada ( ), que é uma média ponderada das variâncias das duas amostras:
Substituindo os valores:
Agora, o erro padrão combinado ( ) é:

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 98%. O nível de significância é . Como é um intervalo de confiança bilateral, dividimos por 2: . Os graus de liberdade (df) são .
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Calculando a diferença das médias:
Calculando a margem de erro:
Portanto, o intervalo de confiança é:

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a diferença nas médias dos diâmetros dos bastões fabricados pelas duas máquinas é de aproximadamente . Isso significa que estamos 98% confiantes de que a verdadeira diferença entre as médias está entre -0,482 mm e 0,582 mm. Como o intervalo inclui zero, não há evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa nas médias dos diâmetros dos bastões produzidos pelas duas máquinas.

Exercícios relacionados

O coeficiente de variação amostral (em porcentagem) de um conjunto de salários é . Se os salários desse conjunto forem reajustados em , o novo coeficiente de variação amostral será:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e)
Um produto fabricado por injeção de plástico é analisado em dois níveis de percentual de talco. Os dados seguintes apresentam os resultados da dureza (HRC), segundo o percentual de talco utilizado.
NÍVEL <br> PERCENTUAL <br> DE TALCO TAMANHO DA <br> AMOSTRA MÉDIA DESVIO <br> PADRÃO
Baixo 8 64,75 9,96
Alto 8 66,39 8,08
Os dados mostram evidência suficiente para afirmar que a dureza média do produto fabricado no nível baixo de percentual de talco é menor do que a dureza média de alto percentual de talco, ao nível de significância de ? Supor normalidade dos dados e variâncias populacionais diferentes.
Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva. Deseja-se testar a hipótese de que a fração de itens nãoconformes é menor que 10%. Em uma amostra aleatória de 250 cabos, detectou-se que 24 estavam fora das especificações. Usar .
Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à esquerda de cada uma das medidas a seguir.
(b)