Diâmetro ( mm ) de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos de n1=15 e n2=17 são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são, respectivamente: barX1= 8,73, S1^2=0,35 e barX2=8,68, S2^2=0,40. Suponha que sigma1^2=sigma2^2 e que os dados sejam retirados de uma população normal. Construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de dados sobre o diâmetro de bastões de aço fabricados por duas máquinas diferentes. Cada máquina teve uma amostra aleatória de tamanhos n1=15 e n2=17. As médias das amostras são barX1=8,73 mm e barX2=8,68 mm, com variâncias S1^2=0,35 e S2^2=0,40. A pergunta quer que a gente construa um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as médias dos diâmetros das duas máquinas e interprete esse intervalo. Para resolver, vamos usar estatística inferencial, especificamente a construção de intervalos de confiança para a diferença entre duas médias, assumindo que as variâncias populacionais são iguais e que os dados seguem uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando queremos comparar duas médias e assumimos que as variâncias são iguais, usamos o intervalo de confiança para a diferença entre duas médias com variâncias iguais. A fórmula geral para isso é:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 times SE
Aqui, barX1 e barX2 são as médias das amostras, talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado, e SE é o erro padrão combinado das duas amostras.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão ( SE). Como as variâncias são iguais, usamos a variância combinada ( Sp^2), que é uma média ponderada das variâncias das duas amostras:
Sp^2 = (n1 - 1)S1^2 + (n2 - 1)S2^2n1 + n2 - 2
Substituindo os valores:
Sp^2 = (15 - 1) times 0,35 + (17 - 1) times 0,4015 + 17 - 2 = 14 times 0,35 + 16 times 0,4030 = 4,9 + 6,430 = 11,330 approx 0,3767
Agora, o erro padrão combinado ( SE) é:
SE = raizSp^2 (1n1 + 1n2) = raiz0,3767 (115 + 117) approx raiz0,3767 times 0,1247 approx raiz0,0470 approx 0,2166

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de confiança de 98%. O nível de significância alpha é 1 - 0,98 = 0,02. Como é um intervalo de confiança bilateral, dividimos alpha por 2: alpha/2 = 0,01. Os graus de liberdade (df) são n1 + n2 - 2 = 15 + 17 - 2 = 30.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,01,30 approx 2,457.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 times SE = (8,73 - 8,68) pm 2,457 times 0,2166
Calculando a diferença das médias:
8,73 - 8,68 = 0,05
Calculando a margem de erro:
2,457 times 0,2166 approx 0,532
Portanto, o intervalo de confiança é:
0,05 pm 0,532 Rightarrow (-0,482, 0,582)

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a diferença nas médias dos diâmetros dos bastões fabricados pelas duas máquinas é de aproximadamente (-0,482, mm, 0,582, mm). Isso significa que estamos 98% confiantes de que a verdadeira diferença entre as médias está entre -0,482 mm e 0,582 mm. Como o intervalo inclui zero, não há evidências suficientes para afirmar que há uma diferença significativa nas médias dos diâmetros dos bastões produzidos pelas duas máquinas.

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